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1、 解题研究 十 7 擞 ? ( 2 o o 9 年 第 1 期 枷P 版 ) 方 案设计 问题例谈 3 1 5 7 1 2 浙江省象山县东陈中学黄忠梁 方案设计问题 由于条件或结论带有一定的不确 定性， 解题时往往需作一番探索分析， 其实这类题所 用到的知识点是最基本、 最熟悉的知识 ， 所用到的技 能也是最基本的。 但对思维要求相对灵活、 偏高， 在 近两年这类试题已经引起命题老师和任教老师的重 视， 在中考试卷中大量涌现， 笔者列举对几类常见的 方案设计问题进行分析， 望能起到抛砖引玉的作用 1 已给 方案可 行性 的验证 例 1 ( 2 0 0 8年浙江省丽水 市 ) 为了加强视力 保护
2、意识， 小明想在长为 3 2米 ， 宽为 4 3米的书房 里挂一张测试距离为 5米的视力表 在一次课题学 习课上， 小明向全班 同学征集“ 解决空间过小， 如何 放置视力表问题” 的方案， 其中甲、 乙、 丙三位同学设 计方案新颖， 构思巧妙 ( 1 ) 甲生的方案： 如图 1 ， 将视力表挂在墙 A B E F 和墙 A D G F的夹角处， 被测试人站立在对角线 A C 上， 问： 甲生的设计方案是否可行?请说明理由 图 1 圈 2 ( 2 ) 乙生的方案 ； 如图2 ， 将视力表挂在墙 C D G H f 上， 在墙 A 上挂一面足够大的平面镜， 根据平面 镜成像原理可计算得到： 测试线
3、应画在距离墙 A B E F 米处 ( 3 ) 丙生的方案 ： 如图 3 ， 根据测试距离 为 5 m 的 大 视 力 表 制 作一个 测试距离 为 3 m 的小视力 表 如果大视 力 表 中 “ E”的 长 是 3 5 c m， 那 么小 视 力 表 C 图 3 中相应 “ E ” 的长是多少 e ra? 分析 所设计出一个或几个好的方案必须能具 体操作本题通过三个设计方案分别考查勾股定理、 轴对称性质 、 相 似多边形性质 ( 1 ) 通过勾股定理计算 知 ： 人与视 力表 的距离 能达 到 5米 ， 所 以方 案可行 ( 2 ) 根据轴对称知识或平面镜成像原理， 当人与虚像 之间距离为5
4、米时， 可计算得人与平面镜之间距离为 1 8米 ( 3 ) 实施 的方案 ， 视力 表的条件需 改正 可运 用相似多边形计算制作小视力表的尺寸 略解( 1 ) 甲生的设计方案可行 根据勾股定理 ， 得 A C = A D +C D =3 2 +4 3 = 2 8 7 3 AC=、 万 =5 甲生 的设计方案可行 ( 2 ) 测试线应画在离墙A B E F 1 8米处 ( 3 ) F o#s c ， AA D F AA B C = - =辜 肋： 2 1 ( e m )B C A B 一 。 3 5 5 一 一 。 。 小视 力表中相应 “ E ” 的长是 2 1 c m 例 2 ( 2 0 0
5、 8年 湖 南省 益 阳市) 如图 4 ， A B C是一块等 边三角形的废铁 片， 利用其剪 裁一个正方形 D E F G ， 使正方形 的一条边 D E落在 B C上， 顶点 F 、 G分别落在 A C 、 A B上 ( 1 ) 证明： 剧 C E F； 图4 ( 2 )探究 ： 怎样在铁片上准确地画出正方形 小聪和小明各给出了一种想法， 请你在(i) 和 ( i i ) 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答 (i)小聪想： 要画出正方形 D E F G ， 只要能计算 出正方形的边长就能求出 B D和 C E的长 ， 从而确定 D点和 E点。 再画正方形 D E F G就容易了 设 A
6、B c的边长为2， 请你帮小聪求出正方形的边 长( 结果用含根号的式子表示， 不要求分母有理化) ( i i )小明想 ： 不求正方形的边长也能画出正方 形具体作法是 ： 在A B边上任取一点 G 如图 5 ， 作正方形 G D E F ； 连结 B F 并延长交 A C 于 F； 作 F E F 交 B C千 E F G矗F G交 G G D u G D 交 B C于 D， 则 四边形 D E F G即为所求 14 图 5 C 你认为小明的作法正确吗?说明理由 分析本题虽有两个不同方案 ， 其实都是考查 相似三角形相关知识的运用， 具体方法是 ： 方案(i) 通过相似三角形计算正方形边长，
7、然后再画正方形； 方案( i i ) 通过相似三角形知识， 进行推理说明正方 形 的画图方法 ( 1 ) 证 明略 ( 2 ) (i ) 解 法 ： 设正 方 形 的边 长为 ， 作 AA B C 一 解题研究 ? 敷 ? ( 2 o 0 9 年 第 1 期 槲 版 ) 1 0 o 0元 ； 。 。LB A M =LBO E=3 0 。 ， 方案3 技术员工 每人l 4 0 d 元 辅助员 每 材= 6 ， ： = 3 ， 1 2 0 0元 在 R t D ME中， 条件的取值 DE： s i n 6 0o： 年 ： 3 ， 范 围 ，然后再在此范围内进行多种选择 2 4方案的最优化设计 例
8、5( 2 0 0 8年陕 西 省) 某县社会主义新农村 建设办公室， 为了解决该 县 甲 、 乙两 村和一 所 中学 n 长期存在的饮水 困难 问 题 ， 想在这三个地方的其 图1 2 中一处建一所供水站， 由供水站直接铺设管道到另 外两处 如图 1 2 ， 甲、 乙两村坐落在夹角为 3 0 。 的两 条公路的A B段和 C D段( 村子和公路的宽均不计) ， 点 M表示这所中学 点 |B在点 M 的北 西 3 0 。 的 3 k m处 ， 点 在点 的正西方 向 ， 点 D在 点 的 南 偏西 6 0 。 的 k r n 处 为使供水站铺设 到另两处 的管道长度之和最 短 ， 现有如下三种方
9、案 ： 方案 1 供水站建在点 处， 请你求 出铺设到 甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值 ； 方案2 供水站建在乙村( 线段 C D某处) ， 甲村 要求管道铺设到 处， 请你在图 1 2中， 画出铺设到 点 A和点 J I， 处的管道长度之和最小的线路图； 并求 其最小值； 方案 3 供水站建在 甲村 ( 线段 A B某处 ) ， 请你 在图 l 2中， 画出铺设到乙村某处和点 M处的管道长 度之和最小的线路图， 并求其最小值 综上 ， 你认 为把供水站建在 何处 ， 所 需铺设 的管 道最短? 分析本题外貌复杂可怕、 用到的知识点多， 其 实是通过三个方案考查 ： 平面内二点间线段
10、最短 的性质 轴对称性质 直线外一点到直线的距 离， 垂线段最短 三角形中位线定理等知识 略解方案 1 由题意可得 ： MB上O B， 故点 l f 到甲村的最短距离 为 MB 点 到乙村的最短距离为 M D， 将供水站建在点 处时， 管道沿 M D、 MB线 路铺设的长度之和最小， 即最小值为 MB+ =3+ ( k m ) 方案 2如图 l 3 ， 作点 关于射线 O E的对称点 ，则 M M = 2 M E ， 连接 交 于点 P， 因 P E ff ， 0 1 所以 P E= 4 图 1 3 姗 = = 2 兰 f e E = 雎 厶 z i P点与D点重合， 即A Jjlf 过D 点
11、 若在线段C D上任取一J 尸 连接P ，P ， 尸 ， 则P M= P M ， 可得A P + P M A M 把供水站建在乙村的 D点处， 管道沿 , D M 线路铺设的长度之和最小， 即最小值为 A D DM ：A l ： -_H_，_一 = 6 + ( ) = 方案 3如图 l 4 ， 作 点 肘 关 于射线 O F的对 称点 l f ， 作 上O E于 点， 交 O F于 点 G ， 交 A M 于点 日， 连接 G M； 则n V G M =G M ， M N 为 M O E 的最短距离， 即 =G +G 图 l 4 在 R t l f 肼中， 由 E FM ， 知 M M I v
12、= 3 0。 ， MM =6， 。 MH =3 。 朋=肘H =3 。 。 D E= 3 ， 。 ， D两点重合 ， 即 J 、 r 过 D点 在 R t - D M 中 ， D M = M D= ， 在线段 A B上任取一点 G ， 过 c 作 C 上O E于 点， 连接 G ， G M， 显然 G +G N =G M + C N M D， 把供水站建在甲村的 G处， 管道沿 G M、 c D线 路铺设的长度之和最小， 即最小值为 - i G M +G JD=M D=4 综上 ， 3+ ， 。 供水站建在 处， 所需铺设的管道长度最短 此类问题首先求 出各种符合条件的方案， 然后 再进行比较得出最优化的方案 方案设计问题是开放性问题 中的一种， 它贴 近 学 生的兴趣、 生活环境和知识水平， 其题型及解题 的 思维方式与传统思维有些不同， 由于很多学生对这 类题了解不多 ， 一遇上就心慌， 思路错位 ， 因此 有必 要对这类题作适度分析、 训练， 开拓学生 总 维视 角 ， 这样有利 于激发学生的兴趣和 思考 ， 同时能较 好 地培 养学生 分析 问题解 决 问题 的能 力 ， 培养他们 探 究习惯 和创 新精神 ( 收稿日期 ： 2 o 0 8 l 1 2 6 )
