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1、第3章 平面一般力系,各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面一般力系。,平面一般力系也称为平面任意力系,平面一般力系,平面一般力系实例1,平面一般力系实例2,主要内容,1、平面一般力系的合成,2、平面一般力系的平衡条件及其应用,3.1 平面一般力系的简化,问题：如何将平面一般力系简化为平面汇交力系与平面力偶系？,1、力的平移定理,说明：,=,=,应用力的平移定理，可将刚体上平面一般力系中各个力全部平移到作用面内某一给定点O。该力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。 这种简化方法称为力系向作用面内一点的简化。点O称为简化中心。,2、平面一般力系向作用面内一点简化 主
2、矢和主矩,MO,平面一般力系,平面汇交力系+平面力偶系,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面一般力系的主矢,平面一般力系的主矩,几点说明： 1、平面一般力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 2、平面一般力系的主矩与简化中心的位置有关。谈到力系的主矩时，一定要指明简化中心。,若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响?,如何求主矢、主矩?,主矢大小：,主矢方向：,主矩：,结论：,平面一般力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。该力的大小方向由主矢确定，作用线通过简化中心O；力偶的力偶矩等于该力系对简化中心O点的主矩。,力与主矢、力偶矩与主矩的关系如何?,固定端约
3、束,一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称为固定端约束，或称插入端。,力学简图,固定端给物体的约束是一群力。约束与物体接触处均有力的作用，如图所示。,MA,MA,3、平面一般力系的简化结果分析,若为O1点，如何?,O1,d,由上图知，,而,所以，,即合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，称为平面一般力系的合力矩定理。,当MO =0，FR=0，原力系平衡。,例 长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求该力系对点O的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,解：,x,y,取坐标系Oxy,1、求力系向O点简化结果,求主矢
4、,FRx,Fix,=,=,-F2,cos60,+F3,+F4,cos30,=0.598kN,FRy,Fiy,=,=,F1,-F2,sin60,+F4,sin30,=0.768kN,=,FR,=0.794kN,cos,=,= 0.614,cos,=,= 0.789,解得, =526, =37 54,求主矩,MO,=,=,2F2,cos60,-2F3,+3F4,sin30,=0.5,力系向O点简化结果如图所示。,MO,2、求力系合成的最后结果,力系合成一合力，合力大小方向等于主矢，且OO1为：,d,=,= 0.51m,O1,d,课堂练习,即：,因为,相互独立的方程有三个，可以求解三个未知量。,平面
5、一般力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。,故有,平面一般力系平衡方程,3.2 平面一般力系的平衡条件和平衡方程,1、上述平衡方程是从直角坐标系推导出来的，但可以证明，对斜交的坐标系仍成立。,几点说明,2、平衡方程的形式不是唯一的，可以利用平衡的必要性（在任一轴上的投影为零，对任一轴之矩的代数和为零）列出2个、3个取矩方程，称为二矩式方程、三矩式方程。刚才得到的方程称为基本形式的平衡方程。,所以平面一般力系的平衡方程有三种形式。,A、B的连线不得和x 轴相垂直。,A、B、C 三点不得共线。,（1）基本形式的平衡方程,（2）二矩式平衡方程,（3）三矩式平衡方程,平面一般力系是平
6、面力系中最一般的情况，其它平面力系都是平面一般力系的特例。,平面平行力系,定义：各力的作用线位于同一平面，且相互平行的力系称为平面平行力系。,如图所示，为一平面平行力系，可取y轴与各力平行，下面导出平面平行力系的平衡方程。,A、B连线不与各力平行。,对如图平面平行力系，原方程中Fx=0变为,即为恒等式00，该式中不包含任何已知量与未知量，对求解问题起不到任何作用，故可从平面一般力系的平衡方程中划去。,0+0+0=0,A、B连线不得与各力平行,由此可见，平面平行力系的平衡方程有两种形式：,独立的方程有两个，利用平面平行力系的平衡方程可求解两个未知量。,（1）,（2）,各力不得与投影轴垂直。,学习
7、了平面一般力系，要学会从一般力系的平衡方程导出特殊力系平衡方程的方法。,基本方法是：,根据力系的特殊情况，划掉所有0=0的恒等式，剩余平衡方程即为该特殊力系的平衡方程。,1、分布载荷,工程问题中经常要处理“分布载荷”。所谓“分布载荷”，是指作用力分布在一个较大的面积上，不能看成集中作用于一点的载荷，如屋顶上由于风力、积雪等引起的负载，水坝上受到的水压力等。“分布载荷”的大小以单位面积或单位长度上所受力的大小来表示，称为“载荷集度”。,2、平行分布载荷,3、平行分布线载荷,4、垂直的平行分布线载荷,如图所示重力坝,简化中心：A点,主矢大小：,主矩：,向A点简化结果如图示,求简化的最后结果,简化最
8、后结果如图示,以三角形分布载荷为例说明垂直分布的平行分布线载荷的合成问题。,结论：,垂直的平行分布线载荷可以合成一合力。,合力大小等于分布线载荷所围图形的面积。,合力作用线位于分布线载荷所围图形的形心处。,合力方向与各分力方向相同。,矩形分布载荷,合力大小等于ql,合力作用线位于h=l/2处,合力方向与各分力方向相同,矩形分布载荷也称为均布载荷,可以看作一个三角形载荷和一个均布载荷的叠加。,梯形分布载荷,x,y,45,例1,已知：AC=CB=l，P=10kN； 求：铰链A和DC杆受力。,解：,取AB梁为研究对象。,受力与坐标如图示。,用平面一般力系方法求解,解得：,可用其他形式的平衡方程求解,
9、本题采用三矩式方程求解，避免了解联立方程。,D,解得：,解：取梁AB为研究对象，受力如图。,y,x,例2 如图所示悬臂梁中，已知力偶矩M、长度a、集中力F、载荷集度q。求固定端A处的约束反力。,MA,如图选取坐标系。,解得：,y,1、平面固定端的约束反力有三个。,几点说明：,2、力偶在任一轴上的投影为零，力偶对任一点之矩等于力偶矩。,3、对分布载荷的处理：,（1)受力图中如实画分布载荷，不得用其合力代替。,（2)列平衡方程时，直接将简化结果代入，不需再积分计算。,例3,已知： P1=700kN， P2=200kN，尺寸如图。,利用平面平行力系的平衡方程求解。,求：,（1）起重机满载和空载时不翻
10、倒，平衡块重P3；,（2）P3=180kN，轨道A、B 给起重机轮子的约束力。,解：,取起重机为研究对象，受力如图。,满载时，若平衡重P3不够大，则起重机有绕B点向右翻倒的可能性。,所以在将要翻倒的临界状态，FA=0，P3取得最小值P3min 。,解得：,空载时，若平衡重P3不够小，则起重机有绕A点向左翻倒的可能性。,所以在将要翻倒的临界状态，FB=0，P3取得最大值P3max 。,解得：,要使起重机在满载和空载时均不翻倒,P3=180kN时，起重机平衡,解得：,解得：,梁AB上受均布载荷和力偶作用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3m，DB=1
11、m。求滑动铰支D 和固定铰支A 的反力。,课堂练习,一、什么是物体系？,物体系由若干个物体通过约束组成的系统。,3.3 物体系的平衡 静定与静不定问题,物体系统平衡,组成物体系统的每个物体平衡,对每个物体进行受力分析,按照所受力系列出相应个数的独立平衡方程,相加得到物体系统独立平衡方程的总数（K）,将物体系统所受的外力个数及内力个数相加，得到系统未知量总数（m）,比较K与m,若K=m，可由独立的平衡方程求出全部未知量,若Km，不能由独立的平衡方程求出全部未知量,静定问题,静不定问题,二、求解物体系统平衡问题的方法,三、静定与静不定概念,2、静不定问题当物体系统中未知量总数大于独立平衡方程总数时
12、，不能由平衡方程求出全部未知量的问题。,1、静定问题当物体系统中未知量总数等于独立平衡方程 总数时，可由平衡方程求出全部未知量的问题。,对应的结构称为静定结构。,静不定问题也称为超静定问题。,对应的结构称为超静定结构或静不定结构。,此时，记n=m-K,n称为超静定次数，或静不定次数。,如n=2,称为2次超静定问题。,理论力学中只介绍静定问题，超静定问题将在材料力学、结构力学中介绍。,对静定系统，列出每一个物体的独立平衡方程，联立即可求得系统的全部未知量。,但实际中，大多数问题并不需要求出全部未知量，只需求其中少数的几个未知量。若为了求少数几个未知量，列出全部的方程既麻烦，又没必要。因此，求解物
13、体系统的平衡问题就要认真分析。,原则是：尽量避免求解题目不要求的未知量。,求解物体系统的平衡问题，必须解决两个难点：,（1）如何适当选取研究对象？,（2）如何列出必要的平衡方程？,连续梁由梁AC和梁CB用C铰链连接而成。A为固定铰支座，B和D为滚动铰支座，如图所示。已知P=5kN，q=2.5kN/m，M=5kgm，l=8m。 求A、B、D处的约束反力。,例1,物体系统平衡问题举例,解：,取梁CB为研究对象，受力图如图a所示。,解得：,FB,- q,=0,-M,FB=2.5kN,图a,再取整体为研究对象，其受力图与坐标如图b所示。,x,y,解得,FAy,+ FD,- P,=0,FB,FAy =
14、-2.5kN,FD = 15kN,- q,+ FB,- q,-M,l,+ FD,- P,=0,图b,例2,如图所示，一起重架由三个杆件AB、CE、CB和滑轮E组成。起吊重物的重量P=10kN，AD=DB= CD=DE=2m，滑轮半径为r，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求A、B、D处的约束反力及杆CB所受的力。,分析,解：,取整体为研究对象，受力与坐标如图a所示。,代入已知数据及FT=P得,（a）,x,y,再取AB为研究对象，受力与坐标如图b所示。,代入已知数据得,x,y,例3,构架由杆AB与杆BC铰接而成，已知P，AD=DB=a，AC=2a，两滑轮半径为r，不计摩擦及杆、滑轮自重。 求A、C处的约
15、束反力。,分析,A、C处的约束反力属系统外力，应先考虑取整体为研究对象。,解：,先取整体为研究对象，受力与坐标如图所示。,解得：,解得：,x,y,再取CB为研究对象，受力如图所示。,代入（1）式解得：,代入FT=P得,由上面的例子可以看出，物体系统的平衡问题，求解步骤与单个物体的平衡问题一样，不同的是多次选取研究对象，选取的研究对象可以是整体，可以是某个构件，也可以是某几个构件的组合体，究竟选什么合适，需要在大量的解题过程中摸索、探讨。,总结：,选取研究对象的一般原则：,1、若求系统外力，且系统的外约束反力不超过独立平衡方程数，或虽超过了独立平衡方程数，但不拆开系统也能求出部分未知量时，可考虑
16、先取整体为研究对象。,2、若求系统内力，或取整体求不出某些外力时，必须拆开物体系，此时一般选取包括待求未知量、且受力情形较简单的某个部分为研究对象。,已知：OA=R，AB= l, F，不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡。 求：力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。,例4,解题步骤说明：,例5,课堂练习1,图示平衡的平面机构由两根直角折杆铰接而成，已知F=60kN，q=5kN/m，M=30kNm，a=4m。若各构件自重及各处摩擦不计，试求A、B处的约束反力。,期末考题,课堂练习2,图示平面机构处于平衡，已知q=F/a，M=2.5Fa，C处为光滑接触，尺寸如图，若各构件自重及各处摩擦不计。试求固定端A处的约束反力与约束反力偶
