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1、湖北大学 硕士学位论文 全平面上收敛的B值随机Dirichlet级数的增长性 姓名：梁楚南 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：田范基 20100601 中文摘要 摘要 本文主要利用全平面上D i r i c h l e t 级数的收敛性和增长性、B a n a c h 空间的 相关理论知识，研究了在随机变量序列不满足独立同分布的情况下，在全平面上 收敛的B 值随机D i r i c h l e t 级数的增长性问题全文共分四部分： 第一、二部分是引言及预备知识在这个部分中我们介绍了D i r i c h l e t 级 数、B 值随机D i r i c h l e t 级数
2、、收敛横坐标、R 一级、下级、型等基本概念 第三部分在以下条件下 ( 1 ) 若磊) 满足：j a o ，使得s u p n l E i 磊I Q ) o ，使得s u p n l E i Z n l 一卢) 0 , s u c h t h a ts u p n l E l 磊l 口) 0 , s u c ht h a ts u p n l E I Z n I 邓) 仃l 上一致收敛，( 7 1 冗) G a = i n f a 2 ：级数( 2 1 ) 在盯 c r 2 上绝对收敛，0 “ 2 R 其中规定i n f O = + 显然有盯。吼( 若特别强调B 中的收敛性，记它们分别为仃宇，口
3、u B ，B ) 定义2 4 。 气 n eu磊 n o 脚 湖北大学硕上学位论文 对于级数( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，定义 M ( 盯) = s u p 训，( 盯- t - i t ) J l ( z c r c ) 一o o ( u ) ) - o o ) - o o 6 r c ) - o Q c r c ( u ) ) - o o 0 ， s u p E l 磊l 。 1 那么对u Qa 8 ，3 N I ( w ) N ，当佗 N I ( w ) 时， ( 2 ) 若磊( u ) 满足：筇 0 ， 磊) l n 詈， s u p E I Z n l 一口) 2 ( u )
4、时， 时。 磊p ) I n ， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 ) 若磊) 满足( 3 1 3 ) ( 3 1 5 ) ，那么对u Qa 8 ，3 N ( w ) N ，当n ( u ) n - k O I 磊( u ) I n k O ， 其中，k o m a X 兰，昙) ，k o N 证明见文献【7 冲的引理6 6 1 定理3 1 1 若B 值随机D i r i c h l e t 级数( 3 1 1 ) ( 3 1 7 ) 满足 甄等= D ) ， I nla n l 。一( D + E ) A n I nI l a n p )
5、 I I 。 I na n I l 。+ ( D + E ) 入n ( 3 2 1 ) 9 - 神o k U玩 脚 湖北大学硕士学位论文 证明在定理3 1 1 的条件下，V e o ，乩Qo 8 ，3 N , ) ，使得V n 1 ( u ) 时，有 I n n a r c ( u ) ) 因此当一盯充分大时，两边同时取自然对数 由( 3 1 5 ) 式得 l n m ( 盯，u 坯n m a 。x ( u ) n n l I + I nI 磊( u ) I _ k 盯) n m a 。x ( u ) l n | | 口n0 + l n ( n 幻) 一入n 盯) 删m a 。x ( u )
6、l n I + k o I n n - A o n m J v a 。x ) l nI I 。n I | 一A n p k o ( D + ) 】) = I n r e ( o “ 一D k o e ) 当几充分大时，由第章中的引理2 2 得 I nI l a n ( u ) l I 。= i n f l nm ( 盯，u ) + A 竹盯) i n f l n m ( a 一D k o c ) + A n 仃) = i n f l n m ( 盯) + 入竹盯) + A n ( D + ) = I nI I n n I I 。+ A n ( D + ) 3 收敛全平面J E 7 值随机D i
7、 r i c h l e t 级数的性质 同理可证( 3 2 1 ) 式右边不等式成立 定理3 2 1 在引理3 2 1 的条件下，召值随机D i r i c h l e t 级数 和B 值D i r i c h l e t 级数 f ( s ，叫) = n n 磊( u ) e 。n s n = O 有相同的增长级和下级 证明由文献【1 2 l 中的定理2 f ( 8 1 有兄一增长级P 唑普裂= 悟1 虢o o f ( s ，u ) 有R 一增长级p ) 唑；掣= 浯篆：0 c r c ( u ) ) - c I o 0 ， s u p ( E l l 磊) 1 ) 时， 磊) 0 几吾2
8、 ， ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 2 ) 若磊p ) 满足：| p 0 ， s u p E l l Z n l l 一厣) A r 2 ( ) 时， 磊) l f n 一，( 4 1 6 ) ( 3 ) 若磊) 满足( 4 1 3 ) ( 4 1 5 ) ，那么对u Qa 8 ，3 N ( w ) N ，当n ( u ) 时， n b l I 磊( u ) l I 几幻，( 4 1 7 ) 其中，k o m a x 兰，) ，k o N 证明 ( 1 ) 由马尔科夫不等式 妻刚I 磊I I n 鲁 ：耋P | I 磊l I n 卿霎丁E I I Z n l l a 湖北大学硕上
9、学位论文 由B o r e l C a n t e l l i - 弓I 理 s 纠u p E I I z I I 。嘉 l 一7 。 P ( nU l l Z 。l l 扎否2 ) ) = 0 P ( Un l l Z 。l l m a X 兰，虽) ，k o N ，S u J ( 4 1 7 ) 式成立 定理4 1 1 若B 值随机D i r i c h l e t 级数( 4 1 1 ) 满足 戛等= D ) ， l nI o 三I 一( D + ) 入几SI nI I n 三( u ) I I I n l n 三I + k o ( D + s ) 入n( 4 2 1 ) 证明在定理4
10、1 1 的条件下，v E o ，乩Qn 8 ，j 1 ) ，使得V n l ( u ) 时，有 I n n c r c ( u ) ) 因此当一盯充分大时，两边同时取自然对数 l n m ( 盯，u ) m 州a x 。n I + I n I I Z n ( u ) 1 1 A n 盯) 1 7 一 eu 磊 0 脚 湖北大学硕上学位论文 由( 4 1 5 ) 式得 n m 1 a x ( u ) l n a n l + l n ( 水) 一k 盯) n m a 。x ( u ) 1 nI n n I + k o l nn A n 盯) 删m a 。x ( u ) l nI 卜k 卜( D +
11、 ) 】) = I n m ( o 一D 一E ) 当n 充分大时，由第二章中的引理2 2 得 I n0 0 n ( u ) I l 。= i n f l nr a ( a ，u ) + A n 盯) i n f l nm ( 盯一D 一) - Fk 仃) = i n f l n m ( 盯) + A n 盯 + A 佗k o ( D + ) = I nl o ：l + k k o ( D + E ) 同理可证( 4 2 1 ) 式右边不等式成立 定理4 2 1 在引理4 2 1 的条件下，B 值随机D i r i c h l e t 级数 和级数 有相同的增长级和下级 o o m ，u )
12、= o n 磊( u ) e 以n 8 ，( s ) = o n e 。n 8 口s 1 8 4 另一种形式的B 值随机D i r i c h l e t 级数的性质 证明由文献【7 】中的定理4 2 1f ( s ) 有R 一增长级P 骨t 磐罂糕= - - 0 0 ， f ( 8 ，u ) 有R 一增长级p ( u ) 营竺罂唑犁I 7 , n _ ，、n - ，“7 E h ( 4 1 7 ) 式和( 4 1 8 ) 式， 因此 戛掣 n _ ，、I n 、” 若P = 0 若0 P o O 廿 有P = 0 0 一o o ，若p ( w ) = 0 p ( w U o o ， 右 J
13、= 一蕊1 ， 若0 u p t 。w 、) o o 一石两 翻气 气 0 ，若p p ) = 一 戛l i m 拦A n - 1 n 一 n l i - - - m - k I n l n a n _ _ _ _ _ h _ J _ + 戛瓢I n 瓦n = n l i - - m 。k I n l l n a n A l ：蚴 戛糕- - n 骂面I n 1 a n n k 。Z n 戛糕+ 戛丽I n 丙n n _ 。 。l I l 。 = 戛姥I n 掣A n n _ + o 。、“ p ( u ) = Pn s 1 9 湖北人学硕士学位论文 由 1 】中定理2 得f ( s ) 有下
14、级7 铮魁箩糕= - - 0 0 驾- 若r 羔= O 三 f ( 8 ，u ) 有下级丁) 甘魁g 拦t = 竹_ o o 。几、。_ 一o 。，若丁) = 0 一而1 ，若0 T ( W ) o o 一可两， 钼、 ，气 0 ， 若7 ( u ) = 。 虹一。丽I n 石a ：l = 虹一钱烂n s 故7 ) = 7 - o 8 4 3B 值随机D i r i c h l e t 级数的型 定理4 3 1 如果B 值随机D i r i c h l e t 级数 满足 并且磊满足( 4 1 3 ) 和( 4 1 5 ) ，( 8 ，u ) 有R 级p ( O P ) ，型肛告兮 1 i 鲁
15、I o n l 东= p n + o 。胛 且P f ( s ，u ) 和f ( s ) a 8 有相同的型 证明由定理4 1 1 n _ o o 、n 面掣：一o 矗 2 0 - ( 3 3 1 ) ( 4 3 2 ) 们 入一 eU磊 n 0 脚 = uS ， 4 另一种形式的J E 7 值随机D i r i c h l e t 级数的性质 由【3 】 础) = 疆J i m 叩h1 1 。烈训I 南戛亳叫嚣 一l i m A n I 口n I 寿1 百n 鲁 n + o o p e n 一 ：p e x p l i mp k o I n n n _ + o 。 、n = pa 8 p = ：l i m A 腭n I 。n I 东戛篙l l n n 磊p ) n 幻l I 最p ) 口s n _ 胛
