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1、n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 第五节 二阶常系数线性微分方程 一、常系数线性齐次方程 1 -特征方程法 将其代入上方程, 得 故有特征方程 特征根 2 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 3 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 4 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 5 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 解特征方程为 解得 故所求通解为 例1 6 解特征方程为 解得 故所求通解为 例2 7 特征方程为 特
2、征方程的根通解中的对应项 8 注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. 9 特征根为 故所求通解为 解特征方程为 例3 10 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？方法：待定系数法. 二 非齐次情形 11 设非齐方程特解为代入原方程 12 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. 13 特别地 14 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 15 利用欧拉公式 2 16 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 17 解对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部 ） 例2 18 解对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例3 19 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 20 解对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例4 21 三、小结 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 22 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式. 23 思考题解答 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 24 练 习 题 25 26 练习题答案 27 28
