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1、单自由度系统阻尼自由振动 引言 惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。 引言 对于实际的振动系统，由于不可避免的存 在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最 后振动完全停止。 阻尼定义 阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。 线性阻尼 又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比，方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便，通常将阻尼进行线性化， 线性化的方法是等
2、效原则。即在运动过程 中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。 车辆中广泛存在的阻尼 在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬 架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑，液体（浸没在液体中振动物体 ），摩擦表面（离合器），金属橡胶等。 液压减振器工作原理 轮胎的阻尼 单自由度粘性阻尼的自由振动 以物体的平衡位 置为原点，水平 方向为x轴正向， 建立如图所示的 坐标系。 微分方程的建立 根据受力分析，和初始条件，可以得到下 面的微分方程。 方程求解 由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式： 将解的形式带入微分方程： 特征方程及其解 由于 ，因此，要想方程成立； 必须：称为微分方
3、程 的特 征方程 可以解出它的两个根： 微分方程的通解 微分方程的通解为： 为任意常数，由运动的初始条件决定 。而解的形式，决定于 。随着阻尼系 数的不同，特征方程可以有两个不等的负 实根，相等的负实根和一对共轭复根。 临界阻尼系数 使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值，称为临界阻尼系数（critical damping coefficient）记为 阻尼比 令 ，称为阻尼比或者相 对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小： 表示大阻尼， 表示临界阻尼， 表示小阻尼。 微分方程和解的表达方式 由 ，和 原来的微分方程可以改写成： 特征根： 大阻尼情
4、况的讨论 当 ，方程的特征根 ， 均为实数，方程的通解为： 与初始条件 有关， 大阻尼系统的运动特点 可以证明， 越过平衡位置的次数至多有一次。 临界阻尼情况的讨论 当 ，特征方程的根 由微分方程的理论，方程的解为： 代入初始条件可得： 临界阻尼系统的运动特点 可见，临界阻尼下的系统的运动也不是振 动，但在相同的条件下，临界阻尼的系统 的自由运动最先停止，因此，仪表都将系 统的阻尼设置为临界阻尼。 作业 有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动 的固有频率为 ，从平衡位置拉开 后释 放，初速度为零，求 和 时的 系统运动情况。 小阻尼系统的运动特点 当 ，特征方程的根 令： 解的三角形式 方程可以
5、写成： 由初始条件， ， ， 小阻尼的运动曲线 如图所示的为衰减振 动。在 的时候，物体的运动 曲线和曲线： 相切， 在切点的x值的绝对 值 称为振幅 。 阻尼振动的特点 由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t 趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋 于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由 振动的主要区别之一。 阻尼振动的数字特征 习惯上，将函数 的周期称为衰 减振动的周期，故衰减振动的周期和频率 分别为： 阻尼对频率和周期的影响 可见，阻尼的存在，使系统的振动频率降 低，振动周期延长。但在的时候，阻尼的 存在对于周期和频率的影响，可以略去不 计。 忽略阻尼影
6、响的条件 根据上述展开，大家可以口算当 和 时，系统的周期和频率变化幅度。 所以，当时 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响 阻尼对振幅的影响 阻尼对与振幅的影响非常大。设 和 分别 是相邻两次的振幅，对应的时间分别为： 和 ，则： 可得： 在一个周期后，幅值缩减到原来的 衰减数据 在 的情况下，在一个周期振幅减小27%， 经过10个周期，振幅减小到原来的4.3%。可见， 只要有微弱的阻尼，就可以使振动迅速衰减。 从上式可以看出，如果两个振动系统的固有频率相 同，则阻尼比较大的系统自由振动衰减的较快，这 也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。如 果两个振动系统的阻尼比相同，则固有频率比较
7、大 的系统自由振动衰减的较快，这也就是常说的；“ 高频成分衰减快”在单自由度系统时的情况。 对数缩减率 前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为： 由于： 可得： 当在 的时候，有 作业2 证明：第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减 率为 ，第t次与第t+1次振动的振幅对数 缩减率为 ，则： 对数缩减率的作用 由 ，可以求出 当在 的时候， ， 为了便于测量， 通常由 获得 例子 试证明：在衰减振动中，在相邻两个位移 最大值消耗的机械能 ，与开始时的机械 能 之比为常量，在阻尼很小的时候， 有： 证明 设第一个位移最大值 ，相邻的位移最大 值 ，则相应的机械能为： 证明 由 ，从而 对 进行Taylor展开 当阻尼很小的时候， ，
