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1、等腰三角形复习 等腰三角形的性质与判定 1.性质 性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形。 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三 角形。 推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 已知角的度数，求其它角
2、的度数 已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论:1=2， BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论： 1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论：ADBC， BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作ADBC，使1=2. 2. 若等腰三角形的一个内角是45,则它 的顶角为90( ) 1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8, 则它的周长为 . 21或18 NO (Ye
3、s or no!) 总结总结: :在解等腰三角形的题目时在解等腰三角形的题目时, ,经常会运用经常会运用 分类思想分类思想讨论讨论, ,以防止掉入数学以防止掉入数学“ “陷阱陷阱”!”! 1、如果等腰三角形的一个外角为100，则这个等 腰三角形的顶角为 。 2、如图，在三角形ABC中，BC=10， AD=BD，若三角形ACD的周长为18 ， 则AC长为 。 A B C D A B C E D 例1：已知，如图等边AEB 与等 边BCD在线段AC的同 侧 求证： ABDEBC A B C D E 变式：已知如图ABD与 ACE均为等边三角形，求证 ：DC=BE 想一想： 你还能写 出哪些结 论
4、例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D ，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM 。 证明：AB=AC ABC=ACB（等边对等 角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90， 2+ABC=90（直角三角 形两个锐角互余） 1=2（等角的余角相等 ） BM=CM（等角对等边） 说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。 例3 已知：如图，A=90，B=15，BD=DC. 求证：AC= BD. 证明： BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角对等 边） ADC=B+
5、DCB=30 （三角形的外角等于和它不相邻 的两个内角的和） A=90 AC= DC AC= BD 例4.如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC， AD=DE=EB. 求A的度数. 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程 组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解 题过程清晰明了。 解：设A=x ，EBD=y，C=z AB=AC ABC=C=z BD=BC C=BDC=z BE=DE EBD=EDB=90 AD=DE A=AED=x 又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） A+ABC+ACB=180（三角形内角和为180）
6、 解得x=45 即：A=45 例5.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在 BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：MDE是等腰三角形. 分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连 结CM，可利用BMDCME得到结果。 证明：连结CM C=90，BC=AC A=B=45 M是AB的中点 CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB（等角对等边） 在BDE和CEM中 BDMCEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形 例6.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE， 求证：DEF也是等边三角
7、形. 证明：ABC是等边三角形 AC=BC，A=C CE=BD BCBC=ACCE CD=AE 在AEF和CDE中 AEFCDE（SAS） EF=DE 同理可证EF=DF EF=DE=DF DEF是等边三角形 说明：证明等边三角形有三种思路： 证明三边相等证明三角相等 证明三角形是有一个角为 60的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。 例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC 延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG 思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB 内作出一个与GEC全等的三角形。 证明：过D作DHAE，交BC于H A
8、B=AC DB=DH 又DB=CE DH=CE 又 DG=EG. 说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明 DBGEFG，同学们不妨试一试。 例8 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD ，AD、BE相交于P，BQAD于Q. 求证：BP=2PQ 思路 在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明 AB=CA，BAE=ACD=60， AE=CD， BAEACD ABE=CAD BPQ=ABE+BAP =CAD+BAP=60 又BQAD PBQ=30 BP=2PQ 说明
9、本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。 1.等腰三角形顶角为36，底角为_。 2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶 角度数为_。 3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为 _，底角为_。 4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为 _。 5.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E ，交AB于D，连结BE，若A=50， EBC=_。 6.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的 周长为50，ABD的周长为40，则 AD=_。 7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的 夹角为_。 练习 8.已知两边及其一边上的高，
10、求作三角形。 9.如图，在ABC中，AB=AC，点D、E分 别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求 A的度数。 B C A B C A E D 在等腰直角三角形中,折出CAB的平分线AE,交BC边 于点E. C点在AB边上的落点为D,连结DE. 2. 若CE=1,则DE=_. 3. 你还能找出哪些相等的线段吗? 4. 若AB=6,则DEB的周长等于多少? 1. DEAB吗? 11DB=_. 即：CE=DE=DB AD=AC=BC C AB O C A EF O B 等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则: 3.
11、若AC=10,则CEF的周长为多少 ? 2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？ 1. 图中有几个等腰三角形? AF+ EB=FE 相等角之间的转化 相等线段之间的转化 C A EF O B A B C F EO （二） 如图（二）当AC=12,BC=8.求CFE的周长? 解:因为OA平分CAB. 所以FAO=OAB. 又因为EFAB. 所以FOA=OAB. 所以FAO=FOA 即:AF=OF 所以AC=AF+FC=OF+FC. 同理可得:BC=BE+EC=OE+EC. 所以CFE的周长: =OF+FC+OE+EC =AC+BC=12+8=20 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以O
12、D 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个? 150 a 请把这个等腰三角形纸片折成两个 等腰三角形！ 36 A B C B C A D 36 A B C 36 D 请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！ 20 40 120 A BC 20 40 120 C A BD 2040 120 A BCD 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！ B A C 50 110 20 1、对A进行讨论 2、对B进行讨论3、对C进行讨论 C AB A C B 2020 20 20 C AB 5050 C A B 80 80 20 C AB 65 6550 C AB 35 35 110 （分类讨论） 同学们再见!
