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1、第48讲曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2016全国卷，20(1)2016全国卷，20(2)2015湖北卷，20(1)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍分值：35分1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是_这个方程_的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_曲线上_的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题2求曲线方程的基本步骤1思维辨
2、析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx表示的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()解析(1)正确由f(x0，y0)0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上时，有f(x0，y0)0.所以f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件(2)错误方程变为x(xy1)0，所以x0或xy10，故方程表示直线x0或直线xy10.(3)错误当以两条互相垂直的直线为x
3、轴，y轴时，是x2y2，否则不正确(4)错误因为方程y表示的曲线只是方程xy2表示的曲线的一部分，故其不正确2到点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c0)的点的轨迹方程为_2x22y22cxc2c0_.解析设点的坐标为(x，y)，由题意知()2()2c，即x2y2(xc)2y2c，即2x22y22cxc2c0.3MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(1,0)和B(1,0)的连线，则使AMB为直角的动点M的轨迹方程是_x2y21(x1)_.解析点M在以A，B为直径的圆上，但不能是A，B两点4平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_y28x(x0
4、)_.解析，由，得0，即2x0，即y28x.若x0，则y0，则A，B，C三点都在x轴上，此时不存在A.动点C的轨迹方程为y28x(x0)5已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是_1(y0)_.解析设抛物线焦点为F，过A，B，O(O为坐标原点)作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则24，由抛物线定义得，4，故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)一定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解【例1
5、】 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程解析由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以(Rr1)(r2R)r1r242.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)二直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量
6、关系，得出方程【例2】 已知定点A，B，且|AB|2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为21，求点P的轨迹解析取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设P(x，y)，即2，化简整理得3x23y210ax3a20，即2y2a2.动点P的轨迹是以C为圆心，a为半径的圆三相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程【例3】 设
7、直线xy4a与抛物线y24ax交于A，B两点(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程解析设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组消y并整理，得x212ax16a20，x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程，得(3y4a)24a(3x12a)，即2(x4a)又点C与A，B不重合，x0(62)a，即3x12a(62)a，即xa，ABC的重心的轨迹方程为2(x4a).1已知点A(4,4)，B(4,4)，
8、直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为_x24y(x4)_.解析设M(x，y)，由已知得kAMkBM2，化简得x24y(x4)2已知圆C的方程为(x3)2y2100，点A的坐标为(3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为_1_.解析由题可知C(3,0)，r10，由中垂线性质知，故10，即点P的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a10，c3，b4，故点P的轨迹方程为1.3已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动
9、圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解析如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由4，得O1(2,0)，O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有r1，由动圆M与圆O2外切，有r2，3，点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，a，c2，b2c2a2，点M的轨迹方程为1.4设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解析设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0.x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，
10、即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.错因分析：要注意参数的取值影响x，y的取值范围；曲线的方程与方程的曲线要对应【例1】 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*，1i9)求证：点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，并求P的轨迹方程解析依题意，过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即
11、x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.由于i1,9，所以x0,10，y0,10，从而点P的轨迹方程为x210y(x0,10)【跟踪训练1】 已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_(x10)2y236(y0)_.解析设A(x，y)，则D，|CD|3，化简得(x10)2y236.由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.课时达标第48讲解密考纲求曲线的轨迹方程，要注意定义法或直接法，这类题型一般在解答题的第(1)问中出现一、选择题1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离
12、小1，则点P的轨迹为(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线2已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹是(B)A直线B圆C椭圆D双曲线解析设P(x，y)，则2，整理得x2y24x0，又D2E24F160，所以动点P的轨迹是圆3已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是(D)A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得点Q的轨迹方程为2x
13、y50.4设圆(x1)2y225的圆心为C，点A(1,0)是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为(D)A1B1C1D1解析M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.5设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2，且1，则点P的轨迹方程是(A)Ax23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0，点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)6已知圆锥曲线mx24y24m的离心率e为方程2x25x20的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)A4B3
