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1、杭州电子科技大学 硕士学位论文 修正Bernstein 算子的Bernstein-Markov不等式及正逆定理 姓名：逯文鸣 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：赵易 20091101 杭州电子科技大学硕士学位论文 I 摘 要 Bernstein 算子是一类重要的线性算子，在逼近论及计算数学等方面有着许多应用，并 且关于Bernstein算子的研究结果非常丰富。 Bernstein算子具有优良的性质和良好的结构， 是研究各类函数逼近性质的有利工具。因此，Bernstein 算子的各种性质、推广、应用等问 题一直受到人们的关注，产生了大量的研究成果。1953 年，Lorentz 在其著
2、作“Bernstein Polynomials”中，对多项式的各种性质及其推广等问题做了较全面的阐述和总结。在此后 又有很多数学工作者对此进行了更加广泛的研究，参见3，5等。2003 年，文章2中提 出带有奇点的 Bernstein 算子及其线性组合的点态逼近，进一步丰富了 Bernstein 算子逼 近的结论，如4Wei Bao-rong, Zhao Yi 给出的结果。 论文将针对具有奇性函数f进行讨论，论文针对此类函数定义了两类修正的 Bernstein 算子及其 Bernstein 算子的线性组合形式， 并在此基础上给出了各类推广形式的 Bernstein 算子的加权的 Bernstei
3、n-Markov 型不等式及正逆定理，上述结论推广了之前数学工作者们 的结论。 本文共有五章，第一章介绍文中涉及的相关概念，记号以及一些常用的基本定理。第 二章讨论了( , ) n Bf x 和( , ) n Bf x的 Bernstein-Markov 型不等式，加权的( , ) n Bf x 多项式和 ( , ) n Bf x多项式的直接估计和逆估计。第三章讨论了关于 , ( , ) n r Bf x 和 , ( , ) n r Bf x多项式的 Bernstein-Markov 型不等式，又讨论了加权的 ,1( , )n r Bf x 和 ,1( , )n r Bf x 多项式的直接估计
4、和 逆估计。第四章讨论了( , ) n Bf x 和 , ( , ) n r Bf x 的 Bernstein-Markov 型不等式，( , ) n Bf x和 , ( , ) n r Bf x的Bernstein-Markov型不等式， 又讨论了Step-Weight函数为凹函数时的( , ) n Bf x 和 ,1( , )n r Bf x 多项式的直接估计和逆估计，Step-Weight 函数为凹函数时的( , ) n Bf x和 ,1( , )n r Bf x 多项式的直接估计和逆估计。第五章是全文的总结。 关键词：Bernstein-Markov 型不等式，加权，正定理，逆定理，算
5、子 杭州电子科技大学硕士学位论文 II ABSTRACT The Bernstein operators are series of linear operators, and they have lots of applications in the theory of approximation and computational mathematics, also there are plenty of achievements corresponding to Bernstein operators. They are useful tools in researching for d
6、ifferent kinds of functions in approximation theory since they have refined quality and excellent structure. Researchers pay attention to properties, expansions and application in them and bring about abundant results. In 1953, Lorentz made comprehensive descriptions and conclusions about polynomial
7、s in his book “Bernstein polynomials”, In 2003, there are a few tutors make expansive research to this, and they give Bernstein operators with singularities and their linear combinations about point-wise approximation, further advance the theory of approximation content,we can see the 4 which Wei Ba
8、o-rong ,Zhao Yi give. Forf has singularities at endpoints or inner points, two modified Bernstein operators and some kind of combinations of Bernstein operators will be given in this paper, and the main results corresponding to the above forms of Bernstein operators are their weighted Bernstein-Mark
9、ov equalities and the direct and converse theorems. There are five chapters in this thesis, chapter 1 related to relative conceptions, notes and some fundamental theorems.Chapter 2 discuss the style of Bernstein-Markov inualities of ( , ) n Bf x and( , ) n Bf x as well as the direct and converse est
10、imation of weighted( , ) n Bf x and ( , ) n Bf x polynomials.While chapter 3 discuss the style of Bernstein-Markov inualities of , ( , ) n r Bf x and , ( , ) n r Bf xpolynomials,and discuss the direct and converse estimation of weighted ,1( , )n r Bf x and ,1( , )n r Bf x polynomials.Chapter 4 discu
11、ss the style of Bernstein-Markov inualities of( , ) n Bf x and , ( , ) n r Bf x as well as( , ) n Bf x and , ( , ) n r Bf x, and also discuss the step-weight function about the direct and inverse estimation of( , ) n Bf x and ,1( , )n r Bf x as well as( , ) n Bf x and ,1( , )n r Bf x .The fifth chap
12、ter is the conclusion of the text. Keywords: Bernstein-Markov inequalities, Weighted, Directed theorem, Converse theorem, Operator 杭州电子科技大学杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均
13、已在文中以明确方式标 明。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权说明学位论文使用授权说明 本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论 文或使用论文工作成果时署名单位仍然为杭州电子科技大学。学校有权保留送交论文的复 印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。 （保密论文在解密后遵守此规定） 论文作者签名： 日期： 年 月 日 指导教师签名： 日期： 年
14、 月 日 杭州电子科技大学硕士学位论文 1 第一章 引言 函数逼近论作为一门独立学科并得以蓬勃发展是为上世纪经 Jackson、Bernstein 以及 苏联学派的一系列深刻工作所推动的，这些工作使函数逼近论的研究目标明确为用简单的 可计算函数对一般函数的逼近，并进而考虑这种逼近的程度和如何刻画被逼近函数本身的 特性。这样，函数逼近论就以构造函数论的姿态吸引着越来越多的学者进入这个研究领域， 从而一系列重要的工作不断出现。 Bernstein算子是一类重要的线性算子，Bernstein 算子在0,1C上的定义为： 0 ( , )(1)( ) n kkn k nn k k Bf xC xxf n
15、 = = ， 0,1,kn=L。 Bernstein算子在逼近论及计算数学等方面有着许多应用，并且关于 Bernstein 算子的 研究结果非常丰富。Bernstein 算子具有优良的性质和良好的结构，是研究各类函数逼近性 质的有利工具，一直受到人们的关注，产生了大量的研究成果。为了提高 Bernstein 算子 的逼近阶，研究者给出了 Bernstein 算子的线性组合，构造出的新算子具有较高的逼近阶。 也有工作者研究了该算子点态逼近的速度和逆定理，刻画了其逼近特征。同时还有学者对 Bernstein算子的各种性质、推广、应用等问题，在此后又有很多数学工作者对此进行了更 加广泛的研究，并给出
16、了带有奇点的Bernstein算子及其线性组合，也有工作者研究了该算 子点态逼近的正定理和逆定理，进一步丰富了逼近论内容，如4Wei Bao-rong, Zhao Yi给出 的结果。 假设函数f在端点处具有奇性， 论文针对此类函数定义了两类修正的 Bernstein 算子及 其相应的 Bernstein 算子的线性组合形式，并在此基础上给出了关于修正的 Bernstein 算 子的加权 Bernstein-Markov 型不等式及相关的其他不等式，最后给出了关于修正的加权 Bernstein 算子的正逆定理，此类不等式推广了之前数学工作者们的结论。 本文共有五章，第一章介绍文中涉及的相关概念，记号以及一些常用的基本定理。第 二章讨论了( , ) n Bf x 和( , ) n Bf x的Bernstein-Markov型不等式，加权的( , ) n Bf x
