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1、2011/10/05探索數學規律實作評量舉例吳柏萱1，朱啟台2，陳瑋伯3，曾政清4，李吉彬5，陳昭地61國家教育研究院/專案助理2教育部高中數學學科中心/助理3台灣師範大學數學研究所碩士班4臺北市立建國高級中學/數學科教師5國立台中第一高級中學/數學科教師6台灣師範大學/數學系教授一、前言評量(1)是使用科學的方法與技術，蒐集有關學生學習行為及其成就的可靠資料，依據預先擬定的教學目標，就學生學習表現情形，加以分析、研究與評估等動態過程。在教學流程中(如下表1)，具有承接轉合的關鍵性角色與回饋的功能。學前評估教學目標教學活動評量表1教學流程表評量依時機可分成診斷性評量、形成性評量與總結性評量，與
2、評量相關的術語有：高分組、低分組、難易度、鑑別度、五標(頂標、前標、均標、後標、底標)等。至於評量的方式則有：口頭問答、上台板演、紙筆測驗、實作評量等；本文著重於數學科總結性評量的紙筆測驗，而依現今常用的測驗題型有單選題、多選題、選填題及非選擇題(計算證明題)，各有其命題方法，均非易事，但肯定是數學科教師急切瞭解，甚至希望儘快達到精熟的技術。尤其限於特殊選才目的(含數學科教師甄選)無疑地適切的口試題很適合使用操作型實作評量，即使段考或大考的非選擇題題型，設計成一個簡潔新穎的操作型實作評量試題，也是能夠被接受的良好典型試題。底下依1980年代Maryland州發展的實作評量測驗(2)，給出操作型
3、實作評量定義：它是一種評量的方式。就適當的數學主題，針對形成該主題的主要數學概念，配合周遭的情境，使用適切的工具或描述，從事一系列的操作，以完成評量核心目標或相關目標。接著仿照Maryland州所發展提供八年級國中生正方體積木，表面著色拆開成個小立方塊，找出各面著色數的個數之規律，設計一個長方體積木的推廣性並適用於一般程度高一學生的數學科操作型的實作評量例題，並引用臺灣師範大學附屬高級中學第一屆科學班數學科資格考一道矩陣考題，設計成找出方陣乘方的規律性實作題，最後改編100年指考數學甲一道微積分的選填題C。事實上一般的數學科多選題已具備操作型實作評量的雛型，可輕易地改編成符合於原測驗目標的新穎
4、實作評量題，而選填題或計算證明題，也多能經過審慎研究原測驗目標後，發展成匹配原測驗目標，且針對適當的施測對象之實作評量題。二、作業壹：探索數學規律先備知識：1. 2.實施時間：高一上第一次定期考後探索數學規律活動一小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為的正方體，並假想在正方體的表面塗油漆後再拆開(如圖1)，並完成小方塊個數之表格(表2)。圖1拆開後的正方體表2小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到
5、0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80008步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖2)，並完成小方塊個數之表格(表3)。圖2拆開後的長方體表3小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊840012步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖3)，並完成小方塊個數之表格(表4)。圖3拆開後的長方體表4小方塊個數被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊880016
6、步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表5)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為的長方體(如圖4)塗油漆後再拆開的情形。圖4邊長為的長方體表5小方塊個數整理表格小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的正方體880邊長為的長方體1284邊長為的長方體1688邊長為的長方體20812邊長為的長方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？12個。請問你找出來的規律是什麼？每多一層就多出4個。請繼續完成小方塊個數之整理表格(表6)。表6小方塊個數整理表格1個面被塗色的小方塊個數未塗色的小方塊個數邊長為的正方體00邊長為的長方體00邊長為的長方體00邊長為的
7、長方體00步驟5.活動一的最後，請預測堆成邊長為，l為大於或等於2的整數，的長方體(如圖5)，塗油漆後再拆開的情形，並完成小方塊個數之表格(表7) (以表示)。圖5邊長為的長方體表7小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊800探索數學規律活動二小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開
8、(如圖6)，並完成小方塊個數之表格(表8) (以表示)。圖6拆開後的長方體表8小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊800步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖7)，並完成小方塊個數之表格(表9) (以表示)。圖7拆開後的長方體表9小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體，
9、並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖8)，並完成小方塊個數之表格(表10) (以表示)。圖8拆開後的長方體表10小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表11) (以表示)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為，l為大於或等於2的整數的長方體(如圖9)塗油漆後再拆開的情形。圖9邊長為的長方體表11小方塊個數整理表格(以表示)小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體8邊長為的長方體8邊長為的長方體8邊長為的長
10、方體8邊長為的長方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？4(l-2)+(5-2)個。 請問你找出來的規律是什麼？每增加一層多4個。請繼續完成小方塊個數之整理表格(表12及表13)。表12小方塊個數整理表格(以表示)1個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體0邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體中，有1個面被塗色的小方塊個數是多少？ 2l(5-2)個 請問你找出來的規律是什麼？ 每增加一層多出2l個 表13小方塊個數整理表格(以表示)未塗色的小方塊個數邊長為的長方體0邊長為的長方體0邊長為的長方體0邊長為的長方體0步驟5.活動二的最後，請預測堆成邊長為，m,l為大於或等於2的整
11、數的長方體(如圖10)，塗油漆後再拆開的情形(表14)(以表示)。圖10邊長為的長方體表14小方塊個數之表格(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊80探索數學規律活動三小方塊是一種立方體的小積木，一般人很喜歡拿小方塊來堆疊成各種立體圖形。現在請你從小方塊堆疊出的立體圖形中，探索一些數學規律。（我們可將小方塊的邊長當作1）步驟1.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖11)，並完成小方塊個數之表格(表15) (以表示)。圖11拆開後的長方體表15小
12、方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊802ml步驟2.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖12)，並完成小方塊個數之表格(表16) (以表示)。圖12拆開後的長方體表16小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊83ml步驟3.請你用小方塊堆成一個邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體，並假想在長方體的表面塗油漆後再拆開(如圖13)，並完成小
13、方塊個數之表格(表17) (以表示)。圖13拆開後的長方體表17小方塊個數(以表示)被塗到3個面的小方塊個數被塗到2個面的小方塊個數被塗到1個面的小方塊個數被塗到0個面的小方塊個數總共有幾個小方塊84ml步驟4.請你整理前面各活動的資料完成小方塊個數之整理表格(表18) (以表示)，並找尋一些數學規律，以預測堆成邊長為，m,l為大於或等於2的整數的長方體(如圖14)塗油漆後再拆開的情形。圖14邊長為的長方體表18小方塊個數整理表格(以表示)小方塊個數3個面被塗色的小方塊個數2個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體2ml8邊長為的長方體3ml8邊長為的長方體4ml8邊長為的長方體5ml8邊長為的長方體中，有2個面被塗色的小方塊個數是多少？ 4(m-2)+(l-2)+(5-3)個 請問你找出來的規律是什麼？ 每增加一層多4個 請繼續完成小方塊個數之整理表格(表19)。表19小方塊個數整理表格(以表示)1個面被塗色的小方塊個數邊長為的長方體邊長為的長方體邊長為的長方體邊長
