《高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质 1.5.2 正弦函数的性质教案 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质 1.5.2 正弦函数的性质教案 北师大版必修4（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5.2 正弦函数的性质整体设计教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进
2、行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数性质
3、的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题回忆并画出正弦曲线,观察它的形
4、状及在坐标系中的位置;观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么?观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么?观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点?观察正弦曲线,它有哪些对称?图1活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现
5、了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R或(-, +). 对问题,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是-1,1.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,|sinx|1,即-1sinx1.也就是说,正弦函数的值域是-1,1.对于正弦函数y=sinx(xR),1当且仅当x=+2k,kZ时,取得最大
6、值1.2当且仅当x=-+2k,kZ时,取得最小值-1. 对问题,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的-,(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选0,2的道理,其他类似. 图2 图3这个变化情况也可从下表中显示出来:x-0sinx-1010-1就是说,函数y=sinx,x-,.当x-,时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;当x,时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.结合正弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间-+2k,+2k(kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间+2k,+2k(
7、kZ)上都是减函数,其值从1减小到-1. 对问题,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O对称.在R上,y=sinx为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢?由诱导公式,sin(-x)=-sinx,y=sinx为奇函数. 至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:略.定义域为R.值域为-1,1,最大值是1,最小值是-1.单调性(略).奇偶性(略).应用示例思路11.函数y=-3sin2x,xR有最大值、最小值吗?如果有,请
8、写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.解:令z=2x,使函数y=-3sinz,zR取得最大值的z的集合是z|z=-+2k,kZ,由2x=z=-+2k,得x=-+k.因此使函数y=-3sin2x,xR取得最大值的x的集合是x|x=-+k,kZ.同理,使函数y=-3sin2x,xR取得最小值的x的集合是x|x=+k,kZ.函数y=-3sin2x,xR的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(x+)
9、+B的函数,一般通过变量代换(如设z=x+化归为y=Asinz+B的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.2.利用三角函数的单调性,比较sin(-)与sin(-)的大小.解:因为-0,正弦函数y=sinx在区间-,0上是增函数,所以sin(-)sin(-).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.3.求函数y=sin(x+),x-2,2的单调递增区间.活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向:把x+
10、看成z,这样问题就转化为求y=sinz的单调区间问题,而这就简单多了.解:令z=x+.函数y=sinz的单调递增区间是-+2k,+2k.由-+2kx+2k,得-+4kx+4k,kZ.由x-2,2可知,-2-+4k且+4k2,于是-k,由于kZ,所以k=0,即-x,而-,-2,2,因此,函数y=sin(+),x-2,2的单调递增区间是-,.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像
11、讨论它的性质.解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).x02Sinx010-10y=sinx-1-10图4观察图像得出y=sinx-1的性质(如下表所示).函数y=sinx-1定义域R值域-2,0奇偶性非奇非偶函数周期2单调性当x2k-,2k+(kZ)时,函数是递增的;当x2k+,2k+(kZ)时,函数是递减的最大值与最小值当x=2k+(kZ)时,最大值为0;当x=2k+(kZ)时,最小值为-2思路2例1 求函数y=的定义域.活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等.解:由1+sinx0,得sinx-1,即x+
12、2k(kZ).原函数的定义域为x|x+2k,kZ.点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.2.在下列区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是( )A., B.0, C.-,0 D.,活动:函数y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin(x),(x)=x+,欲求y=sin(x+)的单调增区间,因(x)=x+在实数集上恒递增,故应求使y随(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+看成一个整体,其道理是一样的.解:(x)=x+在实数集上恒递增,又y=sinx在2k-,2k+(kZ)上是递增的
13、,故令2k-x+2k+.2k-x2k+.y=sin(x+)的递增区间是2k-,2k+.取k=-1、0、1分别得-,、-,、,.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(x+)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定(x)的单调性;(4)写出满足(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的范围;(
14、5)得到x的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(x+)(02)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,= B.T=1,= C.T=2,= D.T=1,=解:T=2,又当x=2时,sin(2+)=sin(2+)=sin,要使f(x)取得最大值,可取=答案:A2.求函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间.解:y=sin(-)=-sin(-).由2k-2k+,可得3k-x3k+(kZ),为单调减区间;由2k+-2k+,可得3k+x3k+(kZ),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为3k-,3k+(kZ);原函数的单调增区间为3k+,3k+(kZ).
