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1、物理用数学初步,李晟, 张骏 上海交通大学物理系 2014.9,微积分,面临的问题,物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .) 学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .) 大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .) 在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速度变化了多少？(比如: a=const,
2、a=const*t, .),微分/导数,面临的问题,物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .) 学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .),微分: 无穷小之比,速度：位移变量与时间之比 加速度：速度变量与时间之比,微分,0/0 存在吗?,0/0在很多情况下是可算的,例,无穷小的等级,如 Dx 为无穷小，则 Dxn 为n阶无穷小 如 Dy/Dx 为有限大小，则两则为同阶无穷小,例子,瞬时速度举例: 标记:,微分的几何解释,微分/导数为曲线的斜率（切
3、线与横轴夹角的正切）,二阶及高阶导数(附加内容),二阶导数：导数的导数,积分,面临的问题,大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .) 在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速度变化了多少？(比如: a=const, a=const*t, .),积分: 无穷小之和,位移：速度与时间之积,积分,定积分,跑了多远？,无穷多的无穷小之和存在吗?,公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛 开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前 于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米 芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。 极限,如何算积分,不定积分 (附加内容),不给定积分区间的积分称不定积分 不定积分为被积函数的逆导数 c称积分常数 例：匀加速运动,由初始条件决定,谢 谢！,知识回顾Knowledge Review,
