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1、有限元基础理论学习总结报告中国矿业大学（北京）14级硕士 王 涛通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学
2、领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法有限元法则更为合适。有限差分法： 特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。有限元法： 特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的等效积分方程。 基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合 2 分片逼近待求函数 分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系 2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程
3、1. 有限元法的理论基础加权余量法和变分原理 1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组 （在内） （1.1.1）域可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件 （在内） （1.1.2）是域的边界。由于微分方程组（1.1.1）在域中每一点都必须为零，因此就有 （1.1.3）其中 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。同理，加入边界条件（1.1.2）也同时
4、在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为 (1.1.5)对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 (1.1.6)其中C、D、E、F是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的A低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（1.1.6）式中降低的连续性要求是以提高和的连续性要求为代价的。这种通过适当提高对任意函数和的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。1.1.2 基于等效积分形式的近似方法加权余量法对微分方程（1.1.1）式和边界条件（1.1.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数可以采用近似函数来表示。近
5、似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是 （1.1.7）其中是待定参数；是称之为试探函数（或基函数、形函数）的已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。显然，近似解不能精确满足微分方程（1.1.1）式和全部边界条件（1.1.2）式，它们将产生残差和，即;。残差和亦称为余量。在（1.1.5）式中用n个规定的函数来代替任意函数和，即 ； （1.1.8）和称为权函数。对应等效积分“弱”形式（1.1.6）式，同样可以得到它的近似形式为 （1.1.9）采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解得方法称为加权余量法。对于权函数不同的选择可分为配点法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽辽金法。1.2
6、 变分原理如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。1.2.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立1. 线性、自伴随微分算子若有微分方程 （在域内） （1.2.1）其中微分算子具有如下性质 （1.2.2）则称为线性算子，方程（1.2.1）为线性微分方程。其中和是两个常数。现定义和任意函数的内积为 （1.2.3）对上式进行分部积分直至的倒数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴随有边界项。结果可表示如下： （1.2.4）表示在的边界上由和及其导数组成的积分项。称为
7、的伴随算子。若=，则称算子是自伴随的。微分方程（1.2.1）为线性、自伴随的微分方程。2. 泛函的构造原问题的微分方程和边界条件表达如下 （在内） （在上） （1.2.5）和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表示如下 （1.2.6）利用算子是线性、自伴随的，就可得到原问题的变分原理 （1.2.7）其中是原问题的泛函，以为内此泛函中（包含的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即变分取驻值。1.3 弹性力学的基本方程和变分原理1.3.1弹性力学基本方程的张量形式1.
8、 平衡方程（在内） （1.3.1）2. 几何方程应力-位移关系（在内） （1.3.2）3. 物理方程应力-应变关系 （在内） （1.3.3）4. 力的边界条件 （在内） （1.3.4） 其中 ，是外界法线的三个方向余弦。5. 位移边界条件 （在上） （1.3.5）6. 应变能和余能单位体积应变能 （1.3.6）单位体积余能 （1.3.7） 1.3.2 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。作为弹性力学微分方程的等效积分形式，虚位移原理与虚应力原理分别是平衡方程与力的边界条件和几何方程与位移边界条件的等效积分形式。在导出它们的过程中都未涉及到物理方
9、程，所以它们不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理。它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。弹性力学最小位能原理和最小余能原理都属于自然变分原理。2 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以节点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立有限单元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元。对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方
10、法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3节点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达式。2.1 弹性力学平面问题的有限元格式2.1.1 单元位移模式及插值函数的构造 图2.1 3节点三角形单元1. 单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应有低次到高次。3节点三
11、角形单元位移模式选取一次多项式 u = b1 + b2x + b3y v = b4 + b5x + b6y （2.1.1）其中是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。在（2.1.1）的1式中带入节点的坐标可得到节点在方向的位移，同理可得和。它们表示为 （2.1.2）2. 位移插值函数将求得的广义坐标代入（2.1.1），可将位移函数表示成节点位移的函数，即 （2.1.3）其中 （2.1.4），称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，它是坐标的一次函数，其中的是常数，取决于单元的3个节点坐标。 2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程对于离散模型，系统总位能的离散
12、公式 （2.2.1）将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵之和，隐含着要求单元各项矩阵的阶数（即单元的节点自由度数）和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。为此需要引入单元节点自由度和结构节点自由度的转换矩阵G，从而将单元节点位移列阵用结构结点位移列阵表示，即 （2.2.2） 则离散形式的总位能可表示为 （2.2.3）由于离散形式的总位能的未知变量是结构的结点位移，根据变分原理，泛函取驻值的条件是它的一次变分为零，d P p0，这样就得到有限元的求解方程 （2.2.4）其中 （2.2.5）和分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷列阵。它们都是有单元敢赌矩阵和单元等
13、效结点载荷列阵集合而成。需要注意，将单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵集成为结构刚度矩阵和结构等效载荷列阵时，实际执行的并不是如（2.2.5）式所示需通过转换矩阵G的运算，而是将单元矩阵或列阵的元素直接“对号入座”，叠加到结构矩阵或列阵而成。以上表述的是基于弹性力学最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。 2.2.3 引入位移边界条件最小位能变分原理是具有附加条件的变分原理，它要求场函数满足几何方程和位移边界条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数（多项式）时，却没有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个
