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1、回归分析的基本思想及其初步应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列三个说法:(1)残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;(2)用R2来刻画回归的效果时,R2的值越小,说明模型拟合的效果越好;(3)直线=x+和各点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的偏差i=1nyi-(xi+)2是该坐标平面上所有直线中与这些点的偏差最小的直线.其中正确的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.由R2的定义可知:R2越接近于1,表明两个随机变量线性相关性越强,所以(2)不正确,其余说法正确.2.某单位为了了解用电量y(度)与气温x()之间的关系,随机统计了
2、某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温x()181310-1用电量y(度)24343864由表中数据得回归直线方程=x+中-2,预测当气温为-4时,用电量的度数约为()A.68 B.67 C.66 D.65【解析】选A.由表格得(x,y)为(10,40),又(x,y)在回归方程=x+上且-2,所以40=10(-2)+ ,解得: =60,所以=-2x+60.当x=-4时, =-2(-4)+60=68.3.(2014重庆高考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数据测算的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4C.=-2x+
3、9.5 D.=-0.3x+4.4【解题指南】根据正相关可知斜率为正,再根据线性回归方程经过点(x,y)可求出结果.【解析】选A.由正相关可知斜率为正,故可排除C,D两项,又因为=0.4x+2.3经过点(3,3.5),故A项正确.【补偿训练】(2015临沂高二检测)某饮料店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:度)之间有下列数据关系:x-2-1012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y之间的三个线性回归方程:y=-x+2.8,y=-x+3,y=-1.2x+2.6;其中正确的是()A. B. C. D.【解析】选A.回归方程=x+表示的直线必过点(x,
4、y),即必过点(0,2.8),而给出的三个线性回归方程中,只有表示的直线过点(0,2.8),故正确的是.4.(2015泰安高二检测)在回归分析中,R2的值越大,说明残差平方和()A.越大 B.越小C.可能大也可能小 D.以上均错【解析】选B.因为R2=所以当R2越大时,i=1n(yi-)2越小,即残差平方和越小.5.(2015福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76, =y-x.据此估计,该社区一
5、户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元 D.12.2万元【解题指南】样本中心点(x,y)一定在回归直线上.【解析】选B.由题意得x=8.2+8.6+10.0+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8.0+8.5+9.85=8,所以=8-0.7610=0.4,所以=0.76x+0.4,把x=15代入得到=11.8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在研究身高和体重的关系时,求得相关指数R2,可以叙述为“身高解释了64%的体重变化,而随机误差贡献了剩余的36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.【解析】结合R2的计算公式R2
6、=可知,当R2=0.64时,身高解释了64%的体重变化.答案:0.647.若根据10名儿童的年龄x(岁)和体重y(kg)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是=2x+7,已知这10名儿童的年龄分别是2,3,3,5,2,6,7,3,4,5,则这10名儿童的平均体重是.【解析】由题意可得y=2x+7,又x=4,所以y=15.答案:15kg8.(2015扬州高二检测)某校高二(8)班学生每周用于数学学习的时间x(单位:小时)与数学成绩y(单位:分)构成如下数据(15,79),(23,97),(16,64),(24,92),(12,58),求得的回归直线方程为=2.5x+,则某同学每周学习20
7、小时,估计数学成绩约为分.【解析】x=15(15+23+16+24+12)=18,y=15(79+97+64+92+58)=78,把(x,y)代入=2.5x+,可求得=33,把x=20代入=2.5x+33得=2.520+33=83.答案:83三、解答题(每小题10分,共20分)9.关于x与y有如下数据关系:x24568y3040605070为了对x,y两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲模型=6.5x+17.5,乙模型=7x+17,试比较哪一个模型拟合的效果更好.【解析】R12=1-1551 000=0.845,R22=1-1801 000=0.82,84.5%82%,所以甲模型拟合
8、效果更好.【拓展延伸】R2=1-的意义R2越大,残差平方和越小,从而回归模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强).10.(2015深圳高二检测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:时间周一周二周三周四周五车流量x(万辆)5051545758PM2.5的浓度y(微克/立方米)6970747879(1)根据上表数据,请在下列坐
9、标系中画出散点图.(2)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+.(3)若周六同一时间段车流量是25万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时PM2.5的浓度为多少(保留整数).【解析】(1)散点图如图所示.(2)因为x=50+51+54+57+585=54,y=69+70+74+78+795=74,i=15(xi-x)(yi-y)=45+34+34+45=64,i=15(xi-x)2=(-4)2+(-3)2+32+42=50,=6450=1.28,=y-x=74-1.2854=4.88,故y关于x的线性回归方程是=1.28x+4.88.(3)当x=25时,=1.2825
10、+4.88=36.8837,所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37微克/立方米.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015眉山高二检测)已知样本点散落在某一条曲线y=附近,作变换z=lny,利用线性回归模型来求其中的参数a,b,则拟合其变换后的样本点的直线方程为()【解析】选A.对方程y=两边取以e为底的对数即得.2.已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,n)的回归直线方程为=2x+a,若样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,则有()A.r=s B.s=2r C.s=3-2r D.s=2r+1【解析】选C.由残差的定义可得,1-(2r+a)=s-(2+a)
11、,化简得s=3-2r.【延伸探究】若将题中的“=2x+a”改为“=bx+a”,同时将“样本点(r,1)与(1,s)”改为“样本点(1,1)与(2,4)”,则b=.【解析】由残差的定义可得1-(b+a)=4-(2b+a),化简得b=3.答案:3二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知回归方程为=2x+1,而实验得到的一组数据为(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),则残差平方和为.【解析】i=13(yi-i)2=(4.9-5)2+(7.1-7)2+(9.1-9)2=0.03.答案:0.034.(2015石家庄高二检测)已知一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn
12、,yn),其样本点的中心为(2,3),若其回归直线的斜率估计值为-1.2,则该回归直线方程为.【解析】由题意可设回归直线为=-1.2x+,由于回归直线过样本点的中心(2,3),故有3=-1.22+,解得=5.4,故回归直线方程为=-1.2x+5.4.答案: =-1.2x+5.4【补偿训练】(2014渭南高二检测)已知x与y之间的几组数据如下表:x0134y1469则y与x的线性回归方程=x+过点()A.(0,1) B.(1,4) C.(2,5) D.(5,9)【解析】选C.因为x=0+1+3+44=2,y=1+4+6+94=5,所以根据线性回归方程必过样本中心点,可得=x+必过(2,5).三、
13、解答题(每小题10分,共20分)5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程=x+,其中=-20, =y- x.(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)【解题指南】(1)利用线性回归系数公式求出,的值,从而可确定回归直线方程.(2)利用二次函数求最值.【解析】(1)由于x=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y=1
14、6(90+84+83+80+75+68)=80,又=-20,所以=y-x=80+208.5=250,从而回归直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.【拓展延伸】建立回归模型的基本步骤(1)确定解释变量和预报变量.(2)画散点图,观察是否存在线性相关关系.(3)确定回归方程的类型,如=x+.(4)按最小二乘法估计回归方程中的参数.(5)得结果后分析残差图是否异常,若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适.6.(2015重庆高考)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t
