第8章期权及二叉树05041

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1、第八章 期权及其二叉树模型,金融期权（financial option）简称为期权是主要的金 融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程 其它金融衍生产品的基础。,期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期 权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售） 某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可 以不行使这个权利。,如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权 利就失效了。,在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。 购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看跌期权。,这一章，首先讨论欧式期权及其组合的

2、损益，并以简 明的图象表示出来。,第二，介绍期权定价的二叉树模型。,第三，介绍以债券为标的资产的期权。,第四，讨论n期二叉树模型。,最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。,第一节 (欧式)期权及其组合的损益,一、（欧式）期权交易到期的损益分析,设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST,（一）看涨期权到期日的损益分析,2. 看涨期权空头（卖），（承担义务）,1. 看跌期权多头(买), (赋予权力),2. 看跌期权空头(卖), (承担义务),1. 看涨期权多头（买），（赋予权力）,（二）看跌期权到期日损益分析,设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格，,二、 在(S,W)平面上

3、欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示,W为期权的收益,三、在(S,W)平面上, 股票和债券的收益:(为了说明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）,令,(一) 在(S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头的收益,(二) 在(S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头的收益,(二) 债券买卖的收益,1. 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。,2. 卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益,4. S+P-C损益的数学表达式：,5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险 证券组合,(三) 无风险证券组合的构造:,(一) 股票买卖的收益,购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权

4、和卖一 份看涨期权,3. 购入一份股票的收益,(四) 其他期权组合的收益,1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ： 购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 是X2的看涨期权，其中X2 X1,2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）： 卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 X2 的看涨期权，其中X2 X1。,3. 蝶式价差买卖(butterfly spread）： 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖 出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2 X

5、3 X1 ， 且,4. 底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,5. 顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,6. 底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合)： 买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 X1和X2，其中X2 X1。,7. 顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X1和X2，其中X2 X1 。

6、,8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。,9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。,10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即,11. W型,以例子说明该证券组合：,第二节 期权定价的二叉树模型,一、期权定价的一期模型,Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的

7、。下一期的股票价格只取两种可能的值。,先讨论一期模型 ：,注: 条件 u 1 + r d 必须成立,否则可能出现套利机会。,（一）股票价格的一期变化规律,（二）以股票为标的期权价格,设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 为22,则,对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 构造一个无风险套期保值的证券组合：,购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有：,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：,（1+r)(S-mC）=uS-mCU,将m的值代入时,有 (m称为套期

8、保值率hedge ratio),令,p称为套期保值概率。,事实上,若投资者是风险中性，则有,由此得,p=q,所以通常也称p为风险中性概率,例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 求C。,注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资,在期末所得到的无风险收益为22.,注2. 此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权.,注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.,注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率.,如果期权价格高了(

9、或者低了),则套期保值证券组合 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在.,期权定价公式三个有趣的性质：,期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对q的不同判断的根源。,2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。,3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。,二、期权定价的二期模型,为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型,设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初

10、始价格为S，,与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期 保值证券组合,从而得到：,由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有:,从另一个角度看, 上式表明:期权价值等于在风险中 性概率下二期收益的期望值折现。,第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,1. 就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉，如: 图 8-35,3. 设利率也是取二值的过程：如 :图 8-38,一、债券价格的二叉树模型,概述,2. 债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付 , 如: 图 8-36 及 图 8-37,4.设债券面

11、值为D，半年的票息为Ci，i=1,2n，若 把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流 相当于2n份面值为Ci和一份面值为D的零息债券。,(一) 风险中性方法,债券价格树的构造,1. 一年期债券的价格树 图 8-39,2. 一年半期债券的价格树 图 3-40,（二）利率期限结构模型方法,在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率 变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券 定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结 构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率 分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期 利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债 券未来的

12、价值折现就可得到债券的价格。如 图 8-45,8-46,例 8-8 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券的价格。如图 8-47,t 期债券价格:,二、以债券为标的资产的期权定价,设以例8-8中的债券 为标的资产、执行价X=100的看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下： 图 8-48,若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付 （收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组 合在t+1期时两个状态的收益

13、相等 。,为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期 权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购 买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看 涨期权）。,Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1,由于是无风险债券组合，故有,（Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd t+1 +票息- mCdt+1,其中rt为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：,一、二项式及二项分布,二项式试验 (Binomial trials)：称试验结果只有两 个的试验为二项式试验。 如在抛硬币试验中，可能出 现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的， 也

14、可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p， 出现反面的概率为1-p. 二项分布告诉我们在n次试验中, 出现k次正面的概率为,第四节 n期欧式期权的定价模型,记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，Pr(k|n ）的系数可以借助帕斯卡三角形（Pascals triangle）。每一行的数据都是由前行相邻的两数之和。,二、 n 期欧式看涨期权的定价公式,试验次数 帕斯卡三角形 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1,出现正面次数 n， n-1，. n-n,n 期欧式看涨期权取值的结果:,对应概率,C

15、nn pn Cnn-1 pn-1 (1-p), , Cnn-K pn-K （1-p）K. Cn0 p0 (1-p）n,故,分析结果.,知看涨期权的价值随着股票的价格上涨， 而当执行价 格升高时,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期 权到期期限n、 二项分布的方差 2=np(1-p) 都影响 期权的价值.,1. 由,3. 增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。我们知道 看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概 率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加 的正收益的项数,且二项分布收益的期望值也随 着 np 的增加而增加。,4. 看涨期权价值随着二项分布方差 np(1-p) 增加而

16、增加.,第五节 存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型,期权定价的基本思想是构造一个证券组合，使得他在 期权执行时刻的收益与期权的收益相同，而这个证券组 合的初始值就是该期权的合理价格。更加严格地说，使 得在执行时，证券组合价值等于期权价值的所有证券组 合中，初始价值最小的那个证券组合，就是套期保值证 券组合，其价值就是期权的价格。下面讨论另一类二叉 树模型不可重合的二叉树模型以及存在交易费用条 件下, 这一类模型定价问题。,一、 不存在交易费用的期权二叉树定价问题,设股票在0时刻的价格为S(0)=S0，在t=1 时刻价格为 S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 S11 )， 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21S22 S23 S24,假设存在无风