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1、1.6数学及统计学预备知识,一、随机性与概率 二、随机变量的概率分布 三、参数估计和假设检验,一、随机性与概率,随机性 事物的结果不能完全事先确定，即可能发生也可能不发生，既可以是这个水平，也可以是那个水平。 如，商店一天的销售量，通过降低利率刺激投资的效果 随机性是计量经济模型的根本特征 每个计量模型都有随机误差项,概率 随机事物或者其特定结果发生的可能性大小，通常称为概率 ProbabilityP 概率无法直接观测到，必须采用间接的方法 概率的频率定义 古典定义 公理化定义,概率的频率定义 用随机事物在大量重复实验中出现的频率，来推断概率 概率的频率定义,一些概念 样本点（基本事件），随机
2、事件中所有可能出现的结果 样本空间，样本点的全体，所有可能结果的集合 随机现象，随机实验中样本点的某种组合 随机变量：数量化的随机事件,(一) 概率函数(Probability distribution function),离散型随机变量的概率函数为： 满足条件：,(二) 分布函数F(x) 分布函数，也称累积分布函数(cumulative distribution function)，就是随机变量取值不大于给定水平的概率构成的函数。 离散型随机变量的分布函数为：,（三）概率分布的数字特征,由于分布函数，密度函数不容易处理，反映随机变量关键特征的数字特征在描述随机变量方面更有效。,数学期望（ M
3、athematical Expectation),数学期望，平均值，均值 反映了随机变量的平均水平或集中趋势 通常以E(*)表示期望运算，以表示期望值。 定义:随机变量的可能值以相应概率为权数的算术平均数,离散型随机变量的数学期望：,方差(variance),通常记为 反映随机变量取值分散程度的指标 定义:随机变量与其数学期望偏差平方的概率加权和 标准差,离散型随机变量的方差：,协方差（Covariance）与相关系数(correlation coefficient),协方差，常常记为定义为， 定义: 两个随机变量与各自数学期望离差之积的期望值。 度量两个随机变量之间相关关系的密切程度,协方差
4、取值依赖于度量单位，考虑相关系数 协方差是有量纲的；相关系数无量纲，取值-1,1 独立与(线性)不相关的关系,数字特征的基本性质(略）,（四）条件概率和条件概率分布 条件概率 在已知与事件A相关的另一事件B已经发生的情况下，考虑事件A发生的概率。记作P(A|B） 条件分布 有时需要关注部分随机变量给定情况下，其他随机变量的概率分布。 条件期望 在给定条件下，考察随机变量的概率均值。 对离散型随机变量：,（五）常见概率分布 正态分布,是最常见的概率分布 中心极限定理保证了由众多微小扰动因素决定的连续型随机变量都可以用正态分布描述 是卡方分布, t分布,F分布的基础,正态分布概率密度函数为: 标准
5、正态分布密度函数:,正态分布特征,正态分布完全由期望和方差决定 特征:钟形,对称 标准正态分布 正态分布随机变量的线性组合仍旧服从正态分布.,-分布,标准正态分布随机变量的平方服从该分布 N个服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为N的 分布.,t-分布,可以从标准正态分布引出 特点: 期望为0,对称分布,F-分布,可以从卡方分布引出 特点: 随着自由度的增加 ,F分布接近与正态分布 右偏 并且,随机抽样和样本统计量,简单随机抽样 计量经济分析的数据一般都是简单随机抽样的样本，即每个样本点被抽到的机会相互独立，任意样本点组合都有均等机会。 可以直接利用样本构造样本统计量。 样本均值、样本
6、方差 抽样分布 利用样本统计量分析推断总体的特征，必须了解样本统计量的概率分布，即“抽样分布”,常见的样本统计量及其分布,样本均值及其分布 样本方差及其分布,三、参数估计和假设检验,基本概念： 总体与样本 参数（总体均值、总体方差）与统计量（样本均值、样本方差） 统计推断：随机变量的取值往往无穷多，一般不可能了解总体分布，只能根据从总体抽取的部分样本推断总体的情况。,参数估计：在未知总体参数的情况下，利用样本统计量来估计总体参数的方法。 参数点估计 参数区间估计（置信区间） 假设检验：先对总体参数作一个假设，然后通过搜集样本数据，用样本统计量判断对总体参数的假设是否成立,参数估计：点估计,假设
7、在总体X中， 为未知参数（均值、方差等）。由样本（X1、X2Xn ）构造统计量 来估计未知参数 ，称 为 的点估计量。 将某次抽样的样本观测值，代入 即得该估计量的一个点估计值 。,点估计量的优良性标准,设 为待估计的总体参数， 为样本统计量，衡量统计量 好坏的标准有： （1）线性性 （2）无偏性 （3）有效性 （4）一致性,线性性： 参数估计量是随机变量观测值的线性组合 具有线性性的参数估计量称为“线性估计” 意义： 参数估计量可以表示为随机变量观测值的线性组合，意味着与随机变量有相同类型的概率分布。 (前提是，随机变量是正态分布，而这个假定一般线性回归模型中都满足）,无偏性： 参数估计量的
8、概率均值（数学期望）等于参数的真实值。 意义： 意味着利用不同样本反复估计，得到的估计值会以参数真实值为中心分布。,即 ，则称 为 的无偏估计量,有效性： 仅仅满足有效性是无意义的。实际上要求估计量是方差最小的线性无偏估计量,设 和 是总体指标的两个无偏估计量，,若 ，则称 为比 更有效的估计量,形象感觉无偏性和有效性： 重庆长安厂4支比赛用枪的抽样结果,参数估计：区间估计,点估计得到的估计值与真实值肯定有偏差，但是点估计本身不能反映估计量与真实值之间的近似程度。 点估计的基础上，利用其分布信息，构造参数真实值的置信区间。,置信度（1-）反映了估计的可靠程度。,设总体参数为，L、U为由样本确定
9、的两个统计量，对于给定的（01)，有P(LU)=1-，则称（L, U）为参数的置信度为1-的置信区间,对区间估计的形象比喻,我们经常说某甲的成绩“大概80分左右”，可以看成一个区间估计。（某甲的成绩为被估计的参数） P(1 2 )=大概的准确程度（ 1-） 如：P(75 85 )=95%=1-5%,区间估计原理,0.6827,落在 范围内的概率为68.27%,置信度1-=0.6827,区间估计原理,0.9545,落在 范围内的概率为95.45%,样本抽样分布曲线,原总体分布曲线,置信度1-=0.9545,3、假设检验,采用逻辑上的反证法 先认为假设为真，观察在此前提下所抽到样本的出现是否合理。
10、若合理则判断假设可接受，反之拒绝假设。 判断是否合理的依据统计上的小概率原理（即这里的反证法是基于一定概率的反证法）。,假设检验的基本概念,原假设、虚拟假设（null Hypothesis) 通常是研究者非预期取值的一种表述 备则假设（alternative hypothesis) 通常是对研究者预期取值的表述。也就是原假设被否定之后而采取的逻辑假设。它是原假设的对立假设。 单侧检验H0:=0 双测检验： H0:=1010 H1:0 H1:1010 构造一个统计量，根据原假设为真时（H0）的取值的可能性来判断。“拒绝原假设”还是“不拒绝原假设”（一般不说接受原假设）,第一类错误（Type I
11、errors) 我们拒绝了一个为真的虚拟假设 第二类错误(Types II errors) 我们没有拒绝一个不真的虚拟假设,显著性水平 界定小概率的标准，即估计量大于临界值的概率。 犯第一类错误的概率。 决定拒绝域和接受域的大小 显著性水平的确定,拒绝域与接受域 原假设被拒绝的区域称为拒绝域或否定域 拒绝域之外的区域即为接受域,“小概率原理”在假设检验中的应用,数理统计学中的“小概率原理”认为：概率很小的事件在一次抽样试验中几乎是不可能发生的。 在H0成立的条件下，统计量落在拒绝域为一个小概率事件，因此，在一次抽样试验中，依据小概率原理，是不会发生的。 要是小概率事件（“统计量落在拒绝域” ）居然发生了。那么，只能是提出的假设H0发生了错误，所以必须拒绝H0。,假设检验的步骤,假设检验的主要步骤: 1 建立统计假设 2 构造统计量 3 根据样本计算统计量的观测值 4 规定显著性水平查表到临界值，确定接受域和拒绝域 5 判断并且给出结论,例：某机器制造出的肥皂厚度为5公分。今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3公分，样本标准差为0.3公分。试分别以0.05和0.01的显著性水平检验机器性能良好的假设。,建立假设,检验统计量,接受域：,知识回顾Knowledge Review,
