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1、第一部分 双曲线相关知识点讲解一双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b
2、、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二双曲线的内外部： (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.四双曲线的简单几何性质=
3、1（a0，b0） 范围：|x|a，yR 对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0） 渐近线： 若双曲线方程为渐近线方程 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上） 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 与双曲线共焦点的双曲线系方程是五双曲线 与 的区别和联系标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。第三部分 典型例题分析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义例1 某中
4、心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的
5、垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
6、A9 B16 C18 D27 解析 ，选C3. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知， 题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.【名师指
7、引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为6.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题1.焦
8、点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B基础巩固训练 2. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A） （B） （C） （D）解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A 类型三：综合练习1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而.于是，即解此
9、不等式得 由+得故的取值范围为2已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消去，得（1）依题意即且（2）（2）设，则 以AB为直径的圆过原点 但 由（3）（4）， 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直 ，即 直线的方程为将代入（3）得 AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。3(1)椭圆C:(ab0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程; (2)设K是(
10、1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：(1) (2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 (3)设M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox1 则 为定值.4.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
11、错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。5.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围；（）如果且曲线E上存在点C，使求。解：（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知
12、 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得 依题意得 整理后得或但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为的面积6. 已知P为双曲线的右支上一点，分别是椭圆的长轴顶点，连接交椭圆于，若与面积相等.（1） 求直线的斜率和直线的倾斜角；（2） 当的值为多少时，直线恰好过椭圆的右焦点？7. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程； （3）过点能否作直线，使与所给双曲线有两个交
13、点，且点是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知，设，（I）解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，
