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1、拼图与勾股定理,勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数学发现之一。但由于教材的编写遵循了简约性原则，在学习勾股定理知识的过程中，没能更深入地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。 因此，在学生完成了勾股定理这章的学习之后，设置了勾股定理的“无字证明”的课题学习，它属于数学课程标准中所规定的“实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定理，了解拼图与定理证明之间的内在联系，通过经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创新意识和学习数学的兴趣。,勾股定理证明方法汇总,1课前自主探
2、究活动,探究报告,请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。,2 探 究 成 果 的 交 流 与 展 示,三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。,2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。,方法一,弦图,赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为周髀算经作注，并著有勾股圆方图说。,c,b a,用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合 。,赵爽的“弦图”证明一,证明二,b,
3、a,(a + b)2= c2 + 4(ab) a2+2ab+b2 =c2 + 2ab a2 + b2 = c2,c,美国总统的证明,加菲(James A. Garfield,1831 1881),1881 年成为美国第20 任总统. 1876 年提出有关证明.,参考:http:/www.ccss.edu.hk,方法 二,(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab) a2 + ab + b2 = c2 + ab a2 + b2= c2,a,a,b,b,c,c,方法 二,方法一与方法二的比较,两个证明基本上相同！,方法一与方法二的比较,两个证明基本上相同！,方法一与方法二的缺点,两个证明
4、都需要用到两个恒等式： (a b)2 = a2 2ab + b2,约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。,方法三,a2,b2,证明,c2, a2 + b2 = c2,希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著几何原本给出一个公理化的证明。,1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。,方法四,几何原本,欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）,欧几里得的几何原本是用公理方法建立演绎数学体系的最早
5、典范。 证法四就是取材自几何原本第一卷的第 47 命题。,参考:http:/www.ccss.edu.hk,证明,证明,证明,证明,证明,画家的证法,达 芬奇(Leonardo Da Vinci 1452-1519 ).,文艺复兴时期卓越的代表人物. 他不仅是一位天才的画家，并且是大数学家、科学家、力学家和工程师. 第一次在数学上使用加减(+、-)符号.,方法五,a,b,c,方法五,证明,a,b,c,证明,a,b,c,b,c,a,证明, a2 + b2 = c2,下面据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。,将4个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个
6、正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2,图1,图2,a,b,c,a,b,c,5.尝试拼图，验证勾股定理,拼图游戏,青朱入出图,拼图游戏,c2,拼图游戏,拼图游戏,拼图游戏,拼图游戏,a2,b2, a2 + b2 = c2,印度婆什迦羅的证明, c2 = b2 + a2,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,I,II,III,注意： 面积 I : 面积II : 面积 III = a2 : b2 : c2,以上的证明方法都从几何图形的面积变
7、化入手，运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类型还与拼图有着密切的关系。,4.勾股定理的文化价值,(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。,(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号。,(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。,(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。,6.小结反思,课题拓展,我最大的收获；,我表现较好的方面；,我学会了哪些知识；,我还有哪些疑惑,学生反思：,（1）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？ （2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？,课题拓展：,评价表,
