《重庆市2018年中考数学题型复习-题型八 二次函数综合题 类型三 与等腰三角形有关的问题练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市2018年中考数学题型复习-题型八 二次函数综合题 类型三 与等腰三角形有关的问题练习（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、类型三 与等腰三角形有关的问题1. (2017重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；(3)点G是线段CE的中点将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F.在新抛物线y的对称轴上，是否存在点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若
2、不存在，请说明理由第1题图2. (2016重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E
3、，点A的对应点为点A.将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E.AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由第2题图3. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E.(1)判断直线AC与CD的位置关系，并说明理由；(2)点P是直线AC上方的抛物线上的一点，当PAC面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得PAQ的周长最小，若存在，求点Q的坐标若不存在，请说明理由；(3
4、)如图，设DE与AC相交于F，将AEF绕点E顺时针旋转60.再向右平移(3)个单位长度，得到A1E1F1，其中点F的对应点为F1，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得CMF1是等腰三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由第3题图4. (2017重庆沙坪坝区一模)如图，抛物线yx2x3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧)，已知C(0，)，连接AC.(1)求直线AC的解析式(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PEx轴交直线AC于点E，交x轴于点F，过点P作PGAE于点G，线段PG交x轴于点H.设lEPFH，求l的最大值(3)如图，在(2)的条件下，点M是x轴上一动点，连接E
5、M、PM，将EPM沿直线EM折叠为EP1M，连接AP，AP1，当APP1是等腰三角形时，试求出点M的坐标第4题图5. 如图，抛物线yx2x与y轴交于点A，点B在第一象限抛物线上，直线yxb与x轴交于点C，与y轴交于点A，点D在x轴上，BD6，ODB120，连接OB、CB.(1)求点A、C两点的坐标；(2)设点E是第一象限OB上方抛线线上一动点，过点E作EFy轴交OB于点F，过E在EF的右侧作FEGBOD，交OB于点G，求EFG周长的最大值；(3)将直线AC沿x轴向右平移，平移过程中直线AC交直线BC于点H，交x轴于点K，在平移过程中，是否存在某一时刻，使KDH为等腰三角形？若存在，求出平移后C
6、的对应点K的坐标；若不存在，请说明理由第5题图备用图6. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D.(1)如图，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当ARAD时，求点R的坐标；(2)在(1)的条件下在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQx轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MNAR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PEEFFA最小，并求此时点E、F的坐标(3)如图，过抛物线顶点D作DHAB于点H，将DBH绕着H点顺时针旋转得到DB
7、H且B落在线段BD上，将线段AC沿直线AC平移后，点A、C对应的点分别为A、C，连接DC，DA，DCA能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点A的坐标；若不能，请说明理由第6题图答案1. 解：(1)当y0时，即x2x0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，当x4时，n424，点E(4，)，设直线AE的解析式为：ykxb(k0)，把A(1，0)，E(4，)代入得，解得，直线AE的解析式为yx；(2)在yx2x中，令x0，得y，点C(0，)，点E(4，)，易求直线CE的解析式为yx，过点P作PHy轴，交CE于点H，如解图，第1题解图设点P的坐标为P(t，t2t)，则H(t，t)，
8、PHt(t2t)t2t，SPCE|xExC|PH4(t2t)t2t，(0t4)0，抛物线开口向下，当t2时，SPCE取得最大值此时，点P为(2，)，点C(0，)，B(3，0)，由中点坐标公式得K(，)，yCyP，PCx轴，作点K关于CP的对称点K1，如解图，则K1(，)，tanOCB，OCB60，第1题解图抛物线yx2x的对称轴为x1，D(1，0)，tanOCD，OCD30，OCDDCB30，CD平分OCB，点K关于CD的对称点K2在y轴上，又CKOC，K2与点O重合，连接OK1，交CD于点N，交CP于点M，如解图，KMMNNKK1MMNON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KMMNNK的
9、值最小，K1K2OK13，KMMNNK的最小值为3；(3)存在点Q，使得FGQ为等腰三角形，且点Q的坐标为(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)【解法提示】C(0，)，E(4，)，G(2，)，新抛物线y是原抛物线yx2x(x1)2沿x轴正方向平移得到的，且y经过点D，抛物线向右平移了AD1(1)2个单位，y(x12)2(x3)2.新抛物线的顶点坐标为F(3，)，对称轴为x3，若在新抛物线的对称轴上存在点Q，使得FGQ为等腰三角形，设Q点坐标为Q(3，m)，则FQ2(m)2m2m，GQ21(m)2m2m，FG21()2，当FQGQ时，m2mm2m，解得m，此时Q1(3，)；当FQFG时，m2m
10、，解得m，此时Q2(3，)，Q3(3，)；当GQFG时，m2m，解得m12，m2，此时Q4(3，2)，Q5(3，)(舍去)综上所述，存在点Q，使得FGQ为等腰三角形，且点Q的坐标为(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)2. 解：(1)ABC为直角三角形，理由如下：在抛物线yx2x3中，令y0，得x2x30，解得，x1，x23，A(，0)，B(3，0)令x0，得y3，C(0，3)，AC212，BC236，AB248，AC2BC2AB2，ABC为直角三角形(2)设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入，得， ，直线BC的解析式为yx3，如解图，过点P作PRy轴交BC于点R，
11、设P(t，t2t3)，则R(t，t3)，PRt2t3(t3)t2t，SPCDSPRCSPRDPRxR(xRxD)t2t(t)20t3，当t时，SPCD取得最大值，此时P(，)，将P(，)向左平移个单位，得P(，)，连接AP交y轴于点N，过点N做NM抛物线的对称轴于点M，连接PM，点Q沿PMNA运动，所走的路经最短，即最短路径的长为PMMNAN.设直线AP的解析式为ymxn，将A(，0)，P(，)代入，得：， ，直线AP的解析式为yx，令x0，得y，故N(0，)，点Q经过的最短路径等于PMMNANAPMN.第2题解图(3)tanCAO，CAO60，OAOA1，AA1O为等边三角形，C1OB30，
12、C1(，)，E(，4)，A(，0)，直线AE的解析式为yx2，设A(t，t2)，则E(t2，t6)，AE228，AC12t2t7，EC12t27t21，当AC1EC1时，t2t7t27t21，解得，t，故E(，5)，当AEAC1时28t2t7，解得t，t，t，E(，7)，当AEEC1时，t27t2128，解得t，t，t，E(，3)，综上所述，所有符合条件的点E的坐标为(，5)或(，7)或(，3)3. 解：(1)ACCD，理由如下：对于抛物线yx22x3，令y0得x22x30，解得x13，x21，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(1，0)令x0，得y3，点C的坐标为(0，3)，化为顶点式得y
13、(x1)24，点D的坐标为(1，4)，AC2323218，AD2(13)24220，CD212(43)22，AC2CD2AD2，ACCD.(2)设直线AC的解析式为ykxt，将点A(3，0)，C(0，3)代入得，解得，直线AC的解析式为yx3.设过点P且平行AC的直线的解析式为yxt1，与抛物线联立得，整理得x23xt130，PAC的面积最大，点P到AC的距离最大，直线yxt1与抛物线只有一个交点，一元二次方程x23xt130有两个相等的实数根，3241(t13)0，解得t1，此时一元二次方程为x23x30，解得x，点P的坐标为(，)，点B的坐标为(1，0)，点A与点B关于直线x1对称，点Q在直线x1上，QAQB，第3题解图当点Q为直线BP与直线x1的交点时，满足题意，设直线PB的解析式为yk2xb2，将
