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1、第三章 差错控制编码,3.1 引言 3.2 纠错编码的基本原理 3.3 常用的几种简单分组码 3.4 线性分组码 3.5 循环码 3.6 卷积码 3.7 网络编码调制,信道编码概念 在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。,3.1 引言,信道的分类：按照噪声或
2、干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。 具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道，错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。 短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式,差错控制方式分类,1. 检错重发方式,检错重发方式又称自动请求重传方式，记作ARQ (Automatic Repeat Request)。由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结
3、果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发，从而达到正确传输的目的。,检错重发（ARQ）的优点： （1）只需要少量的冗余码，就可以得到极低的输出误码率； （2）有一定的自适应能力；,检错重发（ARQ）的缺点： （1）需要反向信道，故不能用于单向传输系统，并且实现重发控制比较复杂； （2）通信效率低，不适合严格实时传输系统。,2. 前向检错方式,前向纠错方式记作FEC ( Forword Error Correction)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。,前向纠错方式的特点：单向传输，实时性好，但译码设备较
4、复杂。,3. 混合纠错方式,混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的结合。发送端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。接收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。,这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此，近年来得到广泛应用。,无论是检错还是纠错，都是由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元，这些监督码元与信息码元之间存在一定的关系，而接收端的译码器正是利用这种关系来检错或纠错的。 在信息码元序列中加入监督码元就
5、称为差错控制编码，也称为纠错编码。 一般说来，加入的监督码元越多，检错或纠错的能力就越强。,信道编码的方法：,纠错码的分类方式：,(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。,(3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能检错。,(2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不仅与本组的信息元有关，而且还与前面若干组的信息元有关。,(4)按照信息码元在编码后是否保持原来的形式
6、，可以将它分为系统码和非系统码。,3.2 纠错编码的基本原理,1. 分组码,分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。,分组码是对每段k 位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k 个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。,码重：在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming)重量，简称码重。例如，码字 10110，码重w=3。,码距：两个等长码组之间相应位取值不同的
7、数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。例如 11000 与 10011之间的距离d=3。,最小距离：码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。,2.检错和纠错能力,若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的简单重复，则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错码，并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。如果是(3,1
8、)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。,码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内:,(1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0e+1;,(2) 纠正t 个随机错误， 则要求码的最小距离d02t+1;,(3) 纠正t个同时检测e (t)个随机错误，则要求码的最小距离d0t +e +1。,3. 编码效率与冗余度 用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性: R = k/n 其中,
9、 k是信息元的个数，n为码长。 冗余度：监督码元与信息码元的比值。 (n-k)/k,对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。,假设:发送“0”的错误概率和发送“1”的错误概率相等，都等于P，且P1，则在码长为n的码组中恰好发生r个错码的概率为 例如，当码长n7 时，p=10-3则有P7(1)7p=710-3； P7(2) 21p2=2.110-5 ； P7(3) 35p3=3.510-8。,可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正(或检测)这种码组中1-2个错误，也可以使误码率下降几
10、个数量级。这就表明，即使是较简单的差错控制编码也具有较大的实用价值。,3.3 常用的几种简单分组码,1.奇偶监督码,奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。 设码字A=an-1,an-2,a1,a0，对偶监督码有: an-1an-2 a1 a0=0 奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数，即： an-1an-2 a1 a0=1,奇偶监督码的编码效率R为 ：,二维奇偶监督码又称为方码。它是把上述奇偶监督码的若干码组排列成矩阵，每一码组写成一行，
11、然后再按列的方向增加第二维监督位。,2 二维奇偶监督码,3 恒比码,码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的1 和0，因此恒比码又称等重码、定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元中1 的数目是否正确，就知道有无错误 。 目前我国电传通信中普遍采用 32 码，又称“5 中取 3”的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可能编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数10，这 10 个许用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如下表所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉字电报的
12、差错率大为降低。,恒比码能够检测码组中所有奇数个码元的错误及部分偶数个码元的错误，但不能检测码组中“1”变为“0”与“0”变为“1”的错误码数目相同的那些偶数错码。,3 正反码,正反码是一种简单的能够纠错的编码。编码的监督位数目与信息位数目相同，监督码元是信息码的重复还是反码，由信息码中“1”的个数而定。“1”为奇数时是重复，“1”为偶数时是反码。 电报通信用的正反码的码长 n =10,其中信息位 k =5,监督位 r =5,其编码规则为： 当信息位中有奇数个“1”时，监督码元是信息码的简单重复。 当信息位中有偶数个“1”时，监督码元是信息码的反码。 例如，若信息位为11001，则码组为110
13、0111001。若信息位为10001，则码组为1000101110。,接收端解码的方法为： 1）先将接收码组中信息位和监督位按位模2相加，得到一个5位的合成码组，然后由此合成码组产生一校验码组。 2）若接收码组的信息位中有奇数个“1” ，则合成码组即是校验码组。若信息位中有偶数个“1”，则取合成码组的反码作为校验码组。,接收码组为1100111001，则合成码组应为1100111001=00000，由于信息位中有奇数个1，所以检验码组就是00000。 接收码组为1000111001，则合成码组应为1000111001=01000，由于信息位中有偶数个1，所以检验码组就是10111。 接收码组为
14、1100101001，则合成码组应为1100101001=10000，由于信息位中有奇数个1，所以检验码组就是10000。 接收码组为1001111001，则合成码组应为1001111001=01010，由于信息位中有奇数个1，所以检验码组就是01010 。,3.4 线性分组码,(1)分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干监督码的编码称为分组码，用符号 表示， 是信息码的位数，是编码组总位数，又称为码长， 为监督位数。,1. 基本概念,(2)代数码：如果监督码与信息码存在一定的代数关系，这种建立在代数学基础上的编码称为代数码。,(3)线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程构成的
15、。线性码是一种代数码。,(4)线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码由一些线性代数方程联系着的编码称为线性分组码。,(5)汉明码：能纠错1位，编码效率最高的线性分组码。,(6)编码效率：指码组中的信息码元个数与码组长度的比值，,(7)监督关系式 对偶数监督码，由于使用了一位监督位a0，故它就能和信息位an-1,an-2,a1一起构成一个代数式，在接收端解码时，实际上就是在计算: S = an-1an-2 a1 a0 这个式子就称为监督关系式，S 称为校正子。,一般说来，若码长为n ，信息位为k ，则监督位数r =n - k, 如果希望用 r 个监督位构造出 r 个监督关系式来指示一位错
16、码的 n 种可能位置，则要求：,设分组码(n,k)中，k = 4。为了纠正一位错码，要求监督位数r 3。若取r =3，则n = k + r = 7。 用a6,a5,a0表示这7个码元，用S1,S2,S3表示3个监督关系式中的校正子，则S1S2S3的值与错码位置的对应关系可用下表表示。,S1S2S3 错码位置 S1S2S3 错码位置,001 a0 101 a4,010 a1 110 a5,100 a2 111 a6,011 a3 000 无错,仅当一错码位置在a2，a4，a5或a6时，校正子S1为1，否则S1为0。这就意味着a2，a4，a5和a6四个码元构成偶数监督关系: S1 = a6a5a4a2 同理 S2 = a6a5a3a1 S3 = a6a4a3a0,监
