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1、中考冲刺二：探索性问题一、热点分析探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍.初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件演绎结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1.条件
2、探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.2.结论探索型给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目.3.存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.4.规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨
3、论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.二、经典例题透析类型一：条件探索型1(呼和浩特市)在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形.这个条件是_.解：或四边形是等腰梯形(符合要求的其它答案也可以).举一反三：【变式1】(荆门市)将两块全等的
4、含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_.(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_.(3)在RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_.(图3、图4用于探究)解：(1)是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(3)，此时A
5、BC1=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形.，此时点D与点B1重合，AC1BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【变式2】(广东)如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点P为x轴上的个动点，点P不与点0、点A重合.连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标.解：(1)过C作CFOA于F，BEOA于E 则OCFABE，四边形CDEB为矩形 OF=AE，CF=BE OC=AB=4，
6、COA=60 CF=，OF=2 CB=FE=3 OE=OF+FE=5 BE=CF= B(5，)；(2)若OCP为等腰三角形，COP=60， 此时OCP为等边三角形或是顶角为120的等腰三角形 若OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上， 点P的坐标为(4，0) 若OCP是顶角为120的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4 点P的坐标为(-4，0) 点P的坐标为(4，0)或(-4，0)；(3)CPD=OAB=COP=60 OPC+DPA=120 又PDA+DPA=120 OPC=PDA COP=A=60 COPPAD ，AB=4 即 得OP=1或6 P点坐
7、标为(1，0)或(6，0).类型二、结论探索型2(云南省)已知：如图，四边形ABCD是矩形(ADAB)，点E在BC上，且AE=AD，DFAE，垂足为F. 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明. 解：经探求，结论是：DF=AB.证明如下：四边形ABCD是矩形， B=90， ADBC， DAF=AEB. DFAE， AFD=90， AE=AD ， ABEDFA. AB=DF.举一反三：【变式1】(北京市)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(
8、2)如图，在中，点分别在上， 设相交于点，若，. 请你写出图中一个与相等的角， 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上， 且.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结 论.解：(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等).(2)答：与相等的角是(或). 四边形是等对边四边形.(3)答：此时存在等对边四边形，是四边形. 证法一：如图1，作于点，作交延长线于点. 因为，为公共边， 所以. 所以. 因为， ， 所以. 可证. 所以. 所以四边形是等边四边形.证法二：如图2，以为顶点作，交于点. 因为，为公共边， 所以. 所以，. 所以
9、. 因为， ， 所以. 所以. 所以. 所以. 所以四边形是等边四边形.说明：当时，仍成立.只有此证法，只给1分.【变式2】(山东滨州)如图1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动.(1)点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置.若不能，请说明理由.(2)当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围.(3)在满足(2)中的条件时，若以为圆心的圆与相切(如图2)，试探究直线与的位置关系，并证明你的结论.解：如图，(1)点移动的过程中，能成为的等腰三角形. 此时点的位置分别是： 是的中点，与重合. .与重合，是的中点.(2)在和中， ，
10、. 又， . . ， .(3)与相切. ， . . 即. 又， . . 点到和的距离相等. 与相切， 点到的距离等于的半径. 与相切.类型三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.3(山东省威海市)抛物线y=ax2+bx+c (a0)过点A(1，-3)，B(3，-3)，C(-1，5)，顶点为M点. (1)求该抛物线的解析式；(2)试判断抛物线上是否存在一点P，使POM=90.若不存在，说明理由；若存在，
11、求出P点的坐标.解：(1)y=x2-4x(2)易求得顶点M的坐标为(2，-4). 设抛物线上存在一点P，使OPOM，其坐标为(a，a2-4a). 过P作PEy轴，垂足为E；过M点作MFy轴，垂足为F， 则POE+MOF=90，POE+EPO=90.EPO=FOM. OEP=MFO=90，RtOEPRtMFO. OE：MF=EP：OF.即(a2-4a)：2=a：4.解得a1=0(舍去)，. 故抛物线上存在一点P，使POM=90，P点的坐标为.举一反三：【变式1】(武汉市)已知：二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；(2)是否存在过点的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.解：(1)依题意，得x1x2=m，x12+x22=10， x1+x2=m+1，(x1+x2)2-2x1x2=10， (m+1)2-2m=10，m=3或m=-3， 又点C在y轴的正半轴上，m=3. 所求抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)假设存在过点的直线与抛物线交于两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称. M、N两点关于点E对称，
