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1、和矩阵的初等变换,线性方程组的消元解法 矩阵的初等变换,第一章 线性方程组的消元法,第一节 线性方程组的消元法,一、线性方程组的基本概念,1. 线性方程组的定义,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t,引例,有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t,不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？,解,设各
2、厂到各用户的产品数量如表 1-2,依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：,再来看总运费，由表1-1：,1,2,于是，题目要解决的问题是：,使之满足方程组 ,和 ,并使总运费最少 .,几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如下形式 ：,若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，,否则 ，称为非齐次线性方程组 .,2. 线性方程组的线性组合,线性方程的加法：,将两个线性方程,(1),(2),的左右两边相加得到如下的新线性方程：,称为原来两个线性方程的和。,线性方程乘常数,将线性方程,两边同乘以非零常数 ，,线性方程与常数相乘，也
3、称为方程的数乘。,线性方程的线性组合,将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数,再将所得的两个方程相加，得到新方程：,得到一个新的线性方程：,(3),称为原来两个方程(1)和(2)的一个,称为这个线性方程的组合系数。,将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。,线性组合，,若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组,等价，,等价的线性方程组一定同解。,将方程组(I)变成,方程组(II)的过程称为,同解变换。,例1,二、线性方程组的
4、消元法,求解线性方程组,1、线性方程组的初等变换,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,(2),小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,定义1,上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ,（ 与 相互替换）,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,定理1,线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组 ,2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线
5、性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组),定理2,在齐次线性方程组,证明：,显然 ，方程组在化成阶梯型方程组之后 ，,方程个数不会超过原方程组中方程个数 ，即,第二节 矩阵的初等变换,为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求
6、解。,1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵及其初等变换,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,由 个数 排成的 m 行 n 列矩阵的数表,称为 m 行 n 列矩阵.简称 矩阵.,记作,定义 1,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶,方阵.也可记作,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角
7、 矩阵(或对角阵）.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,（5）方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,矩阵的转置,（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A （或AT ）即,A =,线性方程组,称为方程组的系数矩阵；,称为方程组的增广矩阵。,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,定义 2,等价关系的性质：,一般，将具有上述三条性质的关系称为等价,同理可定义矩阵的初等列变
8、换(所用记号是把“r”换成“c”)初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.,定义 3,例1,求解线性方程组,解 ：用矩阵的初等行变换解方程组,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,例2,求解方程组,解,对增广矩阵B进行初等行变换，得,显然无解, 故方程组无解.,例如，,二 、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准型,例如，,二 、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准型,特点：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,
