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1、 查漏补缺 数 列 基础训练：1.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则第一个数为 _2.数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和 3.已知数列的前n项和为，若，则 4.已知等差数列的首项及公差均为正数,令，当是数列的最大项时, _ 例题讲解1数列的通项问题例1:已知数列的首项，证明数列是等比数列变式练习1：设为数列的前项之积，满足设，证明数列是等差数列，并求和；变式练习2：已知数列满足，则= 2有关数列中的不定方程整数解问题例2：设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证
2、：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.变式练习：已知，问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由3. 生成数列问题例3：已知数列an满足，(其中0且1，nN*)，为数列an的前项和 (1) 若，求的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 当时，数列an中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由4. 数列与不等式例4：已知等比数列的首项，公比，数列前项和记为，前项积记为（1）证明：；（2）求为何值时，取得最大值；（3）证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可
3、以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为，则数列为等比数列数列课后练习：1.在数列an中，已知a1=1，an=an-1+an-2+a2+a1 (，则 2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是_3.已知函数，数列满足，且数列 为递增数列，则a的范围为 4.设数列都是等差数列，若,则 5.设是等比数列的前项和，成等差数列，且，则 6.数列中，则数列的前2012项的和为 7.设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为 8.设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任
4、意整数k属于M，当nk时，都成立.设M=1，则的值等于 9.已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得4a1，则的最小值为 10.已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当= 时，.11. 已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和12.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（）求数列和的通项公式；（）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? 13.已知数列是各项均为正数的等差数列（1）若，且，成等比数列，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意
5、的，不等式恒成立，求实数的最小值；（3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同次幂，求证：数列中存在无穷多项构成等比数列14.已知数列的首项，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若，求最大的正整数；（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由15.设为数列的前项之积，满足(1)设，证明数列是等差数列，并求和；(2)设求证：填空题训练 数 列1 已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_2 设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_3 数列的各项都是整数，满足，前项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列前
6、10项的和是 4 等比数列的前项和为,已知成等差数列，则等比数列的公比为_5 设等差数列的公差为正数，若则 6 设等差数列的前项和为，若，则中最大的是 7 等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立则M的最小值是_8 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的积，则称该数列为“m积数列”若正项等比数列an是一个“2 012积数列”，且a11，则其前n项的积最大时，n_9设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a1 10数列中，则数列的前2013项的和为 11已知等差数列5，4，3，记第n项到第n
7、+6项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 12已知数列满足，则_13已知数列的前项和满足：，且，那么_14.设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为 15.下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)若数列cn的前n项和为Mn，则M10_(用数字作答)查漏补缺 数 列（教师版）基础训练：1.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则第一个数为 _答： 12或提示：基本量的训练.可设
8、四个数为，也可设为或设为.2.数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和 答：提示：由得：，解或（舍），.3.已知数列的前n项和为，若，则 答： 提示：当时，；当时，作差得，所以成等比数列，即4.已知等差数列的首项及公差均为正数,令，当是数列的最大项时, _ 答：1006提示：.例题讲解1数列的通项问题例1:已知数列的首项，证明数列是等比数列【分析】从条件中分析和递推关系的本质，向等差、等比靠拢。【解答】解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列【反思】首先，要能直觉地将式子变形为两个倒数关系，再利用“”结构，来构造一个等比数列。变式练习1：设为数列的前项之积，满足设，证明
9、数列是等差数列，并求和；【解答】， ， . ， ， 数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， ， 变式练习2：已知数列满足，则= 答案： ，:【反思】本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2) 放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的(3)构造数列法，利用数列的单调性得到大小关系2有关数列中的不定方程整数解问题例2：设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等
10、比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ， ， Sn=. （2） （3）由(2)知， ，成等比数列. 即 当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 另解： （3）由(2)知， ， 成等比数列. ， 取倒数再化简得 当时，=16，符合题意； ， 而， 所以，此时不存在正整数m、n , 且1mn,使得成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1mkp2，因为当n2时，数列an单调递增，所以2ak=am+ap即：2()4k2 =
