自动控制原理 第3章时域分析讲解

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1、,第3章 控制系统的时域分析,3.1 控制系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差 3.7 用MATLAB进行时域响应分析 本章小结 习题,控制系统常用的分析方法有时域分析法、根轨迹法和频率特性法。本章讨论控制系统的时域分析法。 时域分析法是根据系统的微分方程(或传递函数)，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出系统对给定输入信号的时间响应，然后根据响应来评价系统性能的方法。其特点是准确、直观，但在控制理论发展初期，该方法只限于处理阶次较低的简单系统。随着计算机技术的不断发展，

2、目前很多复杂系统都可以在时域中直接分析，使时域分析法在现代控制理论中得到了广泛应用。,评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。 控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为 c(t)css(t)ct(t) (3-1) 式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。,3.1 控制系统的时域性能指标,稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指标两部分组成。,3.1.1 暂态性能指标 控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、

3、斜坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。 (1)延迟时间td：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。 (2)上升时间tr：输出响应第一次达到稳态值c()的时间。无超调时，指响应从c()的10%到90%的时间。 (3)峰值时间tp：输出响应超过c()达到第一个峰值cmax的时间。,图3-1 具有衰减振荡的阶跃响应,(4)最大超调量%：响应的最大值cmax超过稳态值c()的百分数，即 (3-2) (5)调节时间ts：在阶跃响应曲线的稳态值c()附近，取2%c()或5%c()作为误差带，或叫允许误差，用表示。调节时间是指响应曲线到

4、达并不再超出该误差带所需的最小时间。调节时间又称作过渡过程时间。本书若无特殊说明，均取误差带为2%。,(6)振荡次数N：在调节时间内，响应曲线偏离稳态值c()的振荡次数，或在调节时间内， 响应曲线穿越稳态值c()次数的1/2。 具有单调变化的阶跃响应曲线如图3-2所示。一般只用调节时间ts来描述系统的暂态性能。 以上各性能指标中，上升时间tr和峰值时间tp描述系统起始段的快慢；最大超调量%和振荡次数N反映系统的平稳性；调节时间ts表示系统过渡过程的持续时间，总体上反映系统的快速性。,图3-2 单调变化的阶跃响应,3.1.2 稳态性能指标 稳态响应是时间t时系统的输出状态，采用稳态误差ess来衡

5、量。其定义为：对于单位反馈系统，当时间t时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即 (3-3) 稳态误差ess反映系统复现输入信号的最终精度。,3.2.1 数学模型 能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。其传递函数为 (3-4) 式中：T为系统的时间常数。一阶系统的结构图如图3-3所示。,3.2 一阶系统的时域分析,图3-3 一阶系统结构图,3.2.2 单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是 (3-5) 因此 (3-6) 式中：css(t)为稳态分量，css(t)1；ct(t)为暂态分量，ct(t),图3-4 一阶系统的单位阶跃响应,式(3-6)表明：一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零、以指

6、数规律上升到稳态值的曲线，如图3-4所示。 该曲线的特点是：在t0处曲线的斜率最大，其值为1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当tT时输出就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过4T的时间，响应达到稳态值的98。显然，时间常数T反映了系统的响应速度。,1)暂态性能指标 tr2.2T (按第二种定义) ts4T (2%) 2)稳态性能指标 ,3.2.3 单位脉冲响应 对于单位脉冲输入r(t)(t)，R(s)1，于是 (3-7) 因此 (3-8),响应曲线如图3-5所示。该曲线在t0时等于1/T，正好与单位阶跃响应在t0时的变化率相等，这表明单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，

7、而单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。 该曲线在t0时的斜率等于 若系统保持初始响应的变化率不变，则当tT时输出就可以为零。,图3-5 一阶系统的单位脉冲响应,3.2.4 单位斜坡响应 对于单位斜坡输入r(t)t1(t)， ，于是 (3-9) 因此 (3-10) 式中：css(t)tT；,图3-6 一阶系统的单位斜坡响应,式(3-10)表明，一阶系统单位斜坡响应的稳态分量是一个与输入斜坡函数相同斜率但在时间上迟后一个时间常数T的斜坡函数。响应曲线如图3-6所示。 该曲线的特点是：在t0处，曲线的斜率等于零；当t时，c()tT与r(t)t相差一个时间常数T，说明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出

8、与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。 关于一阶系统的时间响应，最后还要指出，系统对于脉冲、阶跃、斜坡三种输入信号的响应，有如下关系： (3-11),(3-12) 上述对应关系说明，系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者说，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由输出初始条件确定。这个重要特征，适用于任何阶线性定常系统。因此，研究线性定常系统的时间响应时，不必对每一种输入信号形式都进行测定或计算，只取其中一种典型形式进行研究即可。,能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛，例如，RLC网络、忽略了电枢电感后的

9、电动机、具有质量的物体的运动等。此外，许多高阶系统在一定条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具有极为重要的实际意义。,3.3 二阶系统的时域分析,3.3.1 数学模型 典型二阶系统的结构图如图3-7所示。其闭环传递函数为 (3-13) 式中：为系统阻尼比； n为无阻尼自然振荡角频率，单位为rad/s。,系统的特征方程为 (3-14) 特征方程的根，即闭环系统的极点为 (3-15) 系统的特征根完全由和n两个参数来描述。,图3-7 二阶系统结构图,3.3.2 单位阶跃响应 对于单位阶跃输入r(t)1(t)， 于是 求其拉氏反变换可得到二阶系统的单位阶跃响应。

10、当为不同值时，所对应的响应具有不同的形式。,1.0(零阻尼) 时域响应为 c(t)1cosnt (t0) (3-16),图3-8 0时的单位阶跃响应,响应曲线如图3-8所示，是一条平均值为1的等幅余弦振荡曲线。此时，闭环系统的两个极点为 s1，2jn 可见系统具有一对纯虚数极点，系统处于无阻尼状态，其暂态响应为等幅振荡的周期函数，且频率为n，称为无阻尼自然角频率。,2.1(过阻尼) 此时， 可见系统具有两个不相等的负实数极点。,于是，系统单位阶跃响应的象函数可以写成 (3-17) 式中：,因此，系统的时域响应为 (t0) (3-18),图3-9 1时单位阶跃响应,式(3-18)表明，系统的暂态

11、分量是两个指数函数之和。当t时，此和项趋于零。因此，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是单调上升的，响应曲线如图3-9所示。 由于1，尤其是在1的情况下，(21)(21)，故式(3-18)等号右侧两个指数项随着时间的增长，后一项远比前一项衰减得快。因此，后一项指数函数只在t0后的前期对响应有影响，为此在求取调节时间ts时可忽略不计。此时有,系统降为一阶系统，即,于是， (3-19) 因此，过阻尼情况下二阶系统单位阶跃响应的调节时间为 (3-20) 在工程上，若1.5，使用式(3-20)已有足够的准确度。,3.1(临界阻尼) 因此 (3-21) 式(3-21)表明，临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应仍是稳

12、态值为1的非周期上升过程。响应曲线如图3-10所示。此时闭环系统的两个极点为,s1，2n 可见，系统具有两个相等的负实数极点，响应单调上升，与过阻尼一样，无超调，但它是这类响应中最快的，调节时间取 (3-22),图3-10 1时单位阶跃响应,4.01(欠阻尼) 1)响应曲线 (3-23) 式中：n为衰减系数； 为系统的阻尼振荡角频率，单位为rad/s。,因此有 (t0) (3-24),可见，系统的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为 响应曲线如图3-11所示，其中， 称为响应曲线的一对包络线。 此时，由于 因此，系统具有一对共轭复数极点。,图3-11 01时单位阶跃响

13、应,表3-1给出不同时典型二阶系统的特征根及单位阶跃响应曲线。图3-12给出了为不同值时典型二阶系统的单位阶跃响应曲线。,表3-1 不同时典型二阶系统的特征根与阶跃响应曲线,续表,图3-12 典型二阶系统的单位阶跃响应曲线,2)性能指标计算 (1)上升时间tr。 令c(t)1，代入式(3-24)中，有 由于 故,则有 所以 令 (3-25),(2)峰值时间tp。 可将式(3-24)对t求导并令其为零，于是有 由于 故 即,又由于 所以 dtp0，2，3， 显然应取dtp，所以有 (3-26),(3)最大超调量%。 将式(3-26)代入式(3-24)中，有 由于 故,因此有 于是有 所以 (3-

14、27) 显然，超调量%仅是阻尼比的函数，与n无关。%与的关系曲线如图3-13所示。,图3-13 欠阻尼二阶系统%与的关系曲线,(4)调节时间ts。 根据ts的定义有 |c(ts)1| 式中：为误差带，通常取2%。 要直接确定ts的表达式不太容易，工程上常借用图3-11所示的衰减正弦波的包络线，即用ts代替ts，可以得到一个近似表达式。,由图3-11可见，不论上包络线或下包络线，近似法都可以得到同样的结果。因此有 即,由此得 (3-28) 当00.8时，有 (3-29) (3-30),【例3-1】 控制系统结构图如图3-14所示。当有一单位阶跃信号作用于系统时，试计算系统的tr、tp、ts和%。 解 系统闭环传递函数为 因此有,图3-14 例3-1控制系统结构图,上升时间tr： 峰值时间tp：,超调量%： 调节时间ts：,【例3-2】 如图3-15所示为单位反馈随动系统，K16，T0.25 s。试求：(1)特征参数、n； (2)计算%、ts；(3)若要求%16%，当T不变时K应取何值？ 解 (1)系统闭环传递函数为,图3-15 例3-2控制系统结构图,因此有 (2)由式(3-27)与式(3-29)得,(3)为使%16%，由图3-13查得0.5，即应使由0.25增大至0.5。当 T 不变时，有 所以 即K应缩小4倍。,3.3.3