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1、连续信号与系统的复频域分析,开始,下一页,结束,本章说明：,拉普拉斯变换可以将时域微积分方程变换成为复频域的代数方程，而且自动引入了初值，能够使我们方便地求出系统全响应。拉普拉斯变换法是分析连续系统的有效工具。本章我们讲学习拉普拉斯变换的定义、性质、应用及正反变换的方法。系统函数的定义及物理意义。系统函数的零极点与系统特性的对应关系以及系统的其他描述方法。,开始,上一页,下一页,结束,引言 傅氏变换的频域分析 拉氏变换的复频域分析 从傅氏变换到拉氏变换 拉普拉氏变换的定义及收敛域 定义 物理意义 收敛域 常用信号的拉氏变换 拉普拉斯变换的性质及应用 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 留数法 查表
2、法,LTI系统的S域分析复频域求响应 已知系统方程求响应 已知电系统求响应 系统函数及系统稳定性 系统函数定义及物理意义 系统函数的零极图 系统函数零极点与系统时域和 频域特性的关系 系统的稳定性 系统的其他描述 线性系统的模拟 信号流图,开始,上一页,下一页,结束,一.引言,一.傅氏变换的频域分析 1.以求零状态响应为例 1将时域信号激励分解成无穷多个谐波分量之和（频域表示形式）。 2求出这无穷多个谐波激励的响应。 3叠加得系统的零状态响应。 从而使求响应的过程得以简化求零状态响应的另一方法。虽然在求响应过程中傅 里叶变换将系统的微分方程的求取变成了代数方程的求解（化卷积积分运算为乘积 运算
3、），但这是以两次变换为代价的。 2.以信号分析和处理为例 1信号的频率特性分析（信号的波形失真，信号的频宽等） 2系统的频率特性分析（系统的带宽等） 得出的结论具有非常清楚的物理意义 但是频域分析存在不足之处。求响应过程中绝大部分的傅里叶反变换太困难， 只能 处理满足狄利赫里条件的信号。而实际中有很多信号不满足此条件，因此它的应用范围方面 受到较大的限制,只能求零状态响应。数学领域的另一积分变换拉普拉斯变换则可以 使其应用大大得到扩展，它既可以从积分变换的观点直接定义，又可以从信号分析观点将拉 普拉斯变换看成是傅里叶变换在复频域的推广，使其物理意义更为明确。,开始,上一页,下一页,结束,二.拉
4、普拉斯变换的复频域分析 1三大域分析 信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号 信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号 信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。 可见各个域的分析不同只是信号分解的基本单元函数不同。,开始,上一页,下一页,结束,2复频域分析 拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用来分析信号
5、和系统的频率特性的主要手段。 3系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础,当,则傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换在,时的一种特殊情况,三.拉氏变换的引出,开始,上一页,下一页,结束,去乘以这个函数得到，,只要取足够大的正值，则t时,衰减就较快。为保证t时,也衰减快，可以假使原函数在负方向也衰减且其衰减速率比收敛因子引,起的增长快，这样,也可以满足绝对可积条件，就可以对它作傅里叶变换。,一个函数,不满足绝对可积的原因往往是因为或衰减太慢造成的，从而,限制了傅里叶变换的使用。现在我们用一个衰减因子,仿照傅里叶变换的表示方式，可以将拉氏变换表示为： 或者表示成正变换f (t) = F (s) 反变换
6、f (t) =F(s) 因为在t+区间积分因此以上称为双边拉普拉斯变换 对t 0有始信号 （0表示原点可能存在的沖激）,二.拉普拉斯变换的定义,1.定义：,开始,上一页,下一页,结束,2.物理意义 傅里叶变换的物理意义： 是将信号分解成许多形式为,开始,上一页,下一页,结束,与傅氏变换一样这些振荡频率是连续的并且分布及无穷。通常把为s复频率，把F (s)看成是信号的复频谱，表示各频率分量无穷小幅度的相对比例关系。,均为无穷小量,振荡，但这些正弦振荡的幅度为,分量之和，每一对正负组成一个变幅正弦,是将信号分解成许多形式为,拉普拉斯变换的物理意义：,均为无穷小量,分量之和，每一对正负组成一个等幅正
7、弦振,荡，但这些正弦振荡的幅度,3.收敛域 一个时域实函数 的拉氏变换F (s)存在的条件 S平面内，使上述积分收敛的区域收敛域 或保证 满足绝对可积的 值范围 实例：,开始,上一页,下一页,结束,4.常用信号的拉氏变换,开始,上一页,下一页,结束,三.拉氏变换的性质及应用,1.拉氏变换的性质 1线性性 2尺度变换性,拉氏变换性质进一步揭示了信号的时域特性和复频域特性的联系，掌握这些特性不但为求解复杂信号的拉氏变换带来方便，且也有助于求拉氏反变换。它的大部分性质与傅氏变换差不多，只是将j变成S。也反映信号在时域作某些运算，则其复频域也会作对应的变化。,开始,上一页,下一页,结束,3延时特性 4
8、复频移特性 5时域微分特性 6时域积分特性,开始,上一页,下一页,结束,7时域卷积特性 8初值定理 9终值定理 10周期信号的拉氏变换,开始,上一页,下一页,结束,2.拉氏变换的性质应用 练习1,开始,上一页,下一页,结束,练习2,开始,上一页,下一页,结束,练习3,开始,上一页,下一页,结束,练习4,开始,上一页,下一页,结束,四.拉氏反变换,1.有理像函数 2.反变换的方法 部分分式法 也称海维赛展开法 ，F(S)为真分式 分母首1多项式D(S)=0的根无重根（无重极点）情况,使分母多项式D(S)=0的根称为极点；它使 使分子多项式N(S)0的根称为零点；它使 分母多项式中最高次幂的系数为
9、1称D(S)为首1多项式 分子多项式的最高次幂分母小于多项式的最高次幂称为真分式 分子多项式的最高次幂分母大于多项式的最高次幂称为假分式,开始,上一页,下一页,结束,实例：,开始,上一页,下一页,结束,分母首1多项式D(S)=0的根有共轭复根情况 可采用部分分式法或配方法 部分分式法 实例： 配方法,开始,上一页,下一页,结束,分母首1多项式D(S)=0的根S1有r重根（r重极点）情况,开始,上一页,下一页,结束,实例：,查表法 查常用信号拉氏变换表,开始,上一页,下一页,结束,2留数法 围线积分法 复变函数理论的留数定理 即：左式积分是在S平面内沿一条不通过被积函数极点的封闭曲线C上进行的
10、右式则是此围线积分C中被积函数各个极点留数之和 如此可见求拉氏反变换的积分运算转换成了求被积函数各个极点的留数之和运算，由于该留数的计算是很简单的，因此大大简化了拉氏反变换的运算 1分母首1多项式D(S)=0的根无重根（无重极点）情况 2分母首1多项式D(S)=0的根S1有r重根（r重极点）情况,开始,上一页,下一页,结束,实例：,开始,上一页,下一页,结束,五.LTI连续系统的S域分析 复频域求响应,1.已知系统的激励、响应的微分方程（系统方程），求响应 1对系统方程两边同时求拉氏变换化为激励和响应象函数的代数方程 2求出响应的像函数Y(S) 3将响应像函数反变换得响应的原函数y (t),拉
11、氏变换法是求解线性微分方程的好方法。它与频域分析一样也将微分方程变成了代数方程，但它同时自动引入了初值，且它的反变换计算又很方便，这给求系统全响应提供了简单的方法。,开始,上一页,下一页,结束,实例：,开始,上一页,下一页,结束,2.已知电系统，求响应 1求 初值。 用换路前的稳态电路直流稳态激励下求电感上的短路电流和电容上的开路电压 2画出换路后的域模型图 2根据线性电阻电路分析方法求出响应的象函数Y(S) 3将响应象函数反变换得响应的原函数y (t) S域模型,开始,上一页,下一页,结束,注意：信号源（电源）也必须作拉氏变换， 原电路就化成了S域电路算子图（运算电路图） 响应也应以其象函数
12、表示，且也必须标出位置和参考方向， 就可以用直流电阻电路的方法求响应的像函数。 实例：,开始,上一页,下一页,结束,3.已知电系统或模拟图，求响应 1求 初值。 用换路前的稳态电路直流稳态激励下求电感上的短路电流和电容上的开路电压 2列微分方程 2将微分方程拉氏变换变代数方程求出Y(S) 3将响应象函数反变换得响应的原函数y (t) 实例：,开始,上一页,下一页,结束,六.系统函数及稳定性,1.定义,系统函数H(S)是复频域中描述系统特性的重要函数,2.分类及物理意义 1一端口系统激励响应在同一端口 H(S)策动点阻抗函数 输入阻抗函数,开始,上一页,下一页,结束,2对二端口系统激励响应不在同
13、一端口 H(S)转移函数或传递函数 3物理意义 单位冲激响应的象函数,3.系统函数的零极图把H(S)的零点与极点在S平面表示出来 系统函数的零极点直接反应了系统的某些特性 零点用表示，极点用表示 S平面横轴为 ，纵轴为j 。,开始,上一页,下一页,结束,开始,上一页,下一页,结束,4.系统函数的零极点在S平面位置与时域特性h(t)的对应关系,开始,上一页,下一页,结束,5.系统函数的零极点在S平面位置与频域特性F(j)的对应关系,每给一个可得一个H (j ),开始,上一页,下一页,结束,6.系统函数的零极点在S平面位置与系统稳定性关系 1系统稳定的概念 直观的看，当一个系统受到某种干扰信号作用
14、时，其所引起的系统响应在干扰消失后，最终将消失。即系统仍能回到干扰作用前的原状态则称系统为稳定系统。否则为不稳定系统。简言之系统对有界激励产生有界响应。该系统称稳定系统。如果系统对一个有界激励产生无限增长的响应则为不稳定系统。 稳定性仅与系统本身特性有关，与激励无关。 我们知道系统函数集中体现了系统本身的特性，当然也能反映了系统是否稳定。,开始,上一页,下一页,结束,2系统稳定性的充分必要条件 稳定系统 （S域）系统函数的全部极点位于S左半平面，不包括虚轴 （时域） 临界稳定系统（S域）系统函数的极点位于S平面的虚轴上， 且只有一阶极点 （时域） 不稳定系统（S域）系统函数的全部极点位于S右半
15、平面，或者在原点和虚轴 有二阶或二阶以上的重极点 （时域） 3系统稳定性判定 罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的 （R o u t h-Hurwitz判据）根（不稳定）和零实部的根（临界稳定）。,开始,上一页,下一页,结束,罗斯准则：系统函数分母多项式的根全部位于S平面左半面的充分必要条件是 系统函数分母多项式的系数全为正数、无缺项、罗斯阵列中的第一数 字符号相同 。系统函数分母多项式： 罗斯阵列： 结论罗斯阵列的第一列数字的无符号变化 系统稳定。,开始,上一页,下一页,结束,4反馈系统的稳定性 反馈系统：输出或部分输出馈送回到输入，从而引起输出本身变化的系统 反馈系统的系统函数： 反馈系统稳定与否要由T(S)的极点（s）（s）的根决定,开始,上一页,下一页,结束,七.系统的其他描述,系统的描述：电路，系统函数，微分方程，零极图，模拟图，信号流图 由于很多实际需要，例如：一些高阶系统的数学处理较为困难，往往需要对它们进行模拟 实验，使之结果很容易观察，当系统的参数或输入信号改变时容易通过实验观察到系统响应 将如何改变，从而便于我们确定最佳系统参数及系统最佳工作条件。这里我们研究的系统模 拟仅仅是指数学意义上的模拟系统微分方程的模拟，因此系
