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1、第8章 点的合成运动 8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为 x = 0， y = acos(kt +) 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速ve 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系Ox y固结在纸上，点 M 的相对运动方程 x= vet， y= acos(kt + ) 消去t得点 M 在记录纸上的轨迹方程 k y= acos(x+) v e8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox y中运动，图 8-1 运动方程为 x= 40(1 cost) ， y= 40sint 式中t以 s 计，x和 y以 mm 计。平面Ox y又绕垂直于该平面的
2、轴O转动，转动方程为 = t rad，式中角为动系的 x轴与定系的 x轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 解 由点 M 的相对运动方程可改写为 x 40 1 = cos t y= sin t40上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程 (x40)2 + y2 =1600 图 8-2 由题得点 M 的坐标变换关系式 x = xcos ysin y = xsin+ ycos 将= t 和相对运动方程代入，消去t得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =1600 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度va =15 m/s，并与直径成= 60 角，如图 8-3a 所
3、示，工作轮的半径R= 2 m ，转速n = 30 r/min 。为避免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。 e vy a vr v 60 M x (a) (b) 图 8-3 解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动，相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设为v r 与 x轴的夹角。点 M 的牵连速度 n ve = R= 2= 6.283 m/s 30方向与y 轴平行。由图 8
4、-3b, vevav r =sin(60 +)sin(90 )sin30 由前1等式得 ve cos= va sin(60 +) ve va sin60 即 tan=va cos60把ve = 6.283 m/s及va =15 m/s代入,解得 = 4148 由后1等式得 sin30vr =va =10.1 m/s cos8-4 如图 8-4a 所示，瓦特离心调速器以角速度绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度1 向外张开。如=10 rad/s ，1 =1.2 rad/s ，球柄长 l = 500 mm ，悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为e = 50 mm，球柄与铅直轴间所成的交角
5、= 30。求此时重球的绝对速度。 y解 重球为动点，动系固结于铅垂轴；牵连运动为定轴转动，相对运动为绕悬点之圆弧摆动，且ve vr ，绝对运动为空间曲线，如图 8-4b 所示。由于 ve = (e + lsin)= 3 m/s ，vr = l1 = 0.6 m/s 所以 va =ve2 + vr2 = 3.06 m/s va 在ve ，v r 决定的平面内，且 v r tan(va ,ve ) = 0.2v e8-5 杆 OA 长l，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如图 8-5a 所示。假定推杆的速度为v，其弯头高为a 。求杆端 A 的速度的大小（表示为推杆至点 O 的速度 x 的函数）。
6、 B A vev av xv A rv (a) (b) 图 8-5 解 直角推杆上与杆 AO 接触点 B 为动点，动系固结于 AO；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆 OA 直线运动。点 B 速度分析如图 8-5b,设 OA 角速度为,则 2 2a xOB+=va va = v ，ve =OB = va sin，OB = vsin aa以 sin=代入上式得 =22 x + a最终得 lav va =l = 2 2 x + a 方向如图。 8-6 车床主轴的转速n = 30 r/min ，工件的直径d = 40 mm ，如图 8-6a 所示。如车刀横向走刀速度为v =1
7、0 mm/s，求车刀对工件的相对速度。 vra v ve (a) (b) 图8-6 解 车刀头为动点，动系固结于工件；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线，相对运动为螺旋曲线。点 M 的牵连速度ve 垂直向下，绝对速度va = v，相对速度vr 在va 与ve 所决定的平面内，且设与va 成角，如图 8-6b 所示。 d n va = v =10 mm/s， ve mm/s 所以 vr = va2 + ve2 = 102 + 62.832 = 63.6 mm/s 1 v e1 = tan() = tan(6.283) = 8057v a8-7 在图 8-7a 和图 8-7b 所示的 2 种机
8、构中，已知 O1O2 = a = 200 mm ，1 = 3 rad/s 。求图示位置时杆O2 A的角速度。 图8-7 解 （a）套筒 A 为动点，动系固结于杆O2 A；绝对运动为O1 绕的圆周运动，相对运动为沿O2 A直线，牵连运动为绕O2 定轴转动。速度分析如图 8-7a1 所示,由速度合成定理 va = ve + vr 因为O1O2 A为等腰三角形，故 O1 A = O1O2 = a ，O2 A = 2acos30，va = a1 ，ve =O2 A = 2acos30 由图 8-7a1： v a va = 2a cos30 得 a1 = 2a = =1.5 rad/s（逆） （b）套筒
9、 A 为动点，动系固结于杆O1 A；绝对运动为绕O2 圆周运动，相对运动为沿杆直线运动，牵连运动为绕O1 定轴转动。速度分析如图 8-7b1 所示。 va = O2 A1 = 2acos30 ， ve = O1 A1 = a1 vea 1 由图b1：va =cos30cos30a 1 得 2acos30 =cos30 rad/s（逆） 8-8 图 8-8a 所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA = r ，并以等角速度绕轴O转动。装在水平杆上的滑槽 DE 与水平线成60角。求当曲柄与水平线的交角分别为= 0， 30，60时，杆BC 的速度。 图8-8 解 曲柄端点 A 为动点，动系固结于杆 BC；绝对
10、运动为绕 O 圆周运动，相对运动为沿滑道 DB 直线运动，牵连运动为水平直线平移。速度分析如图 8-8b 所示 (va , y) =, va = r 从图 b 得 ve= v a sin(30 )sin60 所以 sin(30 ) 60sin3 3 vBC = ve =r = 0时，vBC = r（）； = 30时，vBC = 0 = 60时，vBC = 3 3 r（） 8-9 如图 8-9a 所示，摇杆机构的滑杆AB以等速v向上运动，初瞬时摇杆OC 水平。摇杆长OC = a ，距离OD = l。求当= 时点 C 的速度的大小。 vx l A C ya ve vr vD O (a) (b) 图
11、8-9 解 套筒 A 为动点，动系固结于杆 OC；绝对运动为上下直线，相对运动沿 OC 直线，牵连运动为绕 O 定轴转动。速度分析如图 8-9b 所示，设杆 OC 角速度为，其转向逆时针。由题意及几何关系可得 va = v （1） ve =OA （2） cosv 222tvl+ OA l va = e （3） OA = （4） cos= （5） 式（1），（2），（4），（5）代入式（3），得 OA=OA2(v 2t 2 + l 2 ) v = cosll vla= 2 2 2 v t + l因 vla vC =a = 2 2 2 v t + l当 = 时，vt = l ，故 vavC = 2l8-10 平底顶杆凸轮机构如图 8-10a 所示，顶杆 AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴 O 转动，轴 O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为 R，偏心距OC = e，凸轮绕轴O转动的角速度为，OC 与水平线夹角。求当= 0时，顶杆的速度。 O C R A B e v avrve (a) (b) 图8-10 解 （1）运动分析 轮心 C 为动点，动系固结于 AB；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕 O 圆周运动。 （2）速度分析，如图 8-10b 所示 va = ve + v r 方向 OC 大小 e
