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1、第十一章 梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形习 题111 用积分法求下列简支梁A、B截面的转角和跨中截面C点的挠度。CMel/2EIl/2Cl/2EIl/2Me(a)(b)习题111图CMel/2EIl/2y解：（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：， （a） (b)边界条件为：x=0时，y=0，x=l时，y=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为： ，所以：CMel/2EIl/2x（b）取坐标系如图所示。AC段弯矩方程为： BC段弯矩方程为： 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AC段： ， （a） (b) BC段：， （c）
2、 (d)边界条件为：x1=0时，y1=0，x2=l时，y2=0，变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AC段： ，BC段：，所以：112 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。习题112图qBAl（a）MeAl（b）BEIEIqBAl（a）EIx解：（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：， （a） (b)边界条件为：x=l时，y=0，y=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为： ，MeAlBEIx所以：（b）取坐标系如图所示。弯矩方程为： 挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别
3、得： （a） (b)边界条件为：x=l时，y=0，y=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为： 所以：113 一悬臂梁在BC段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面C的转角和挠度。EIBqAl/2l/2CxEIBqAl/2l/2C习题113图解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为： BC段弯矩方程为： 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB段： ， （a） (b) BC段： （c） (d)边界条件为：x1=0时，y1=0，y1=0，变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AB段： ，BC段： 所以：114 一外
4、伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求A、B截面的转角以及C、D截面的挠度。xyEIClllqy习题114图EIClllq解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为： BC段弯矩方程为： 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB段： ， （a） (b) BC段： （c） (d)边界条件为：x1=0时，y1=0， 变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AB段：BC段：所以：115 用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。习题115图Cll/2(b)qFq(a)Cl/2ll/2
5、解：（a）分三段。AB、BC、CD段位移分别为y1、y2、y3。则边界条件B点：C点：变形连续条件为：（b）分两段。AB、BC段位移分别为y1、y2。则边界条件A点：B点：变形连续条件为：116 一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为18号工字钢，E=210GPa，M=8.1kNm，q=15kN/m，跨长l=3.26m。试用积分法求此梁跨中点C处的挠度。qCEI习题116图l/2l/2MMAB解：取坐标系如图所示。弯矩方程为： 挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得： （a） (b)边界条件为：x=0=l时，y=0代入（a）、(b)式，得：梁的挠度方程式为： 所以：117 一简支梁受
6、力如图所示，试用叠加法求跨中截面C点的挠度。EICa习题117图FaaaF解：当右边的F单独作用时，查表得：由对称得：118 一简支梁承受均布荷载作用，并在A支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知：，试用叠加法求A、B截面的转角和跨中截面C的挠度。解：当q单独作用时，当Mq单独作用时，所以：119 一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。EIBAql/2l/2C习题119图EIC习题118图ql/2l/2MAB解： 所以：CBEIll/2习题1110图qFA1110 一外伸梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。已知：F=ql/6。解：对AB段，看作在均布荷载和力
7、偶Fl/2作用下的简支梁， 则， 所以：将BC段看作悬臂梁，固定端处有转角,则所以：则1111 试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。EI习题1111图EIBAFl/2l/2CM=Fl(a)BAFa(b)al/aF解：（a）当M单独作用时，当F单独作用时，所以：则：解：（b）当C点处的F单独作用时，此时 当D点处的F单独作用时，此时 所以1112 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l=6m， M=4kNm，q=3kN/m，工字钢为20a，钢材的弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。EI习题1112图qlMMqEI习题1113图l/2l/2FABBA解：则，所以刚度满足要求。
8、1113 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l=6m，F=10kN，q=4kN/m，材料许用应力，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号并校核梁的刚度。解：跨中最大弯矩为：取20a，则则，所以刚度满足要求。1114 在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。qF（a）qF（b）q(c)q(d)F习题1114图q(e)(f)FF解：（a）2次；（b）1次；（c）2次；(d)1次；（e）静定结构；（f）3次。1115 试画出下列各超静定梁的弯矩图。F(b)2aaABB(a)ll/2MAC习题1115图qB(e)2aaACF(d)aaFaaAB2a(c)aFaABCE
9、IEIEIEIEIEI解：（a）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法: （a）式中：yBM为梁在力偶单独作用下引起的B点的挠度（图 d），由表格111可查得： （b）yBF为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格111可查得： （c）将(b)、（c）两式代入式（a），得： （d）由该式可解得：则M图为：（b）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法: （a）式中：yBF为梁在F
10、单独作用下引起的B点的挠度，由表格111可查得： （b）yRB为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格111可查得： （c）将(b)、（c）两式代入式（a），得： （d）由该式可解得：则M图为：(c) 该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法: （a）式中：yBF为梁在F单独作用下引起的B点的挠度，由表格111可查得： （b）yRB为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格111可查得： （c）将(b)、（c）两式代入式（a），得： （d）由该式可解得：则M图为：（d）该梁为三次超静
11、定梁，将A支座化为固定铰支座，解除该支座的转动约束，并施加多余约束反力MA。将B支座化为可动铰支座，解除该支座的转动约束和水平约束，并施加多余约束反力MB和水平力HB，由于水平支反力对位移的影响可忽略不计，所以先不考虑HB，根据该梁的变形条件，梁在A点和B点的转角应为零，即补充方程式为：由叠加法: （a）式中：AF和BF为梁在F单独作用下引起的A点和B点的转角，由表格111可查得： （b）AMA和BMA为梁在MA单独作用下A点和B点的转角，同样由表格111可查得： （c）AMB和BMB为梁在MB单独作用下A点和B点的转角，同样由表格111可查得： （d）将(b)、（c）(d)式代入式（a），得：由上式可解得：则M图如下：（e）该梁为一次超静定
