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1、内蒙古师范大学 硕士学位论文 二维三角点阵上Ising和Potts模型的损伤扩散研究 姓名：王春安 申请学位级别：硕士 专业：凝聚态物理 指导教师：郭子政 20070605 中文摘要 本文研究二维三角点阵上伊辛( I s i n g ) 和P o t t s 模型的损伤扩散 问题。 利用G l a u b e r 及K a w a s a k i 混合动力学并采用蒙特卡罗方法和 I s i n g 模型研究建立在二维正三角格子上小世界网络( S m a l lW o r l d N e t w o r k ) 模型的损伤扩散问题。讨论了不同小世界几率P 。条件下相 变临界温度的变化，以及此模型
2、中簇系数随小世界几率变化的规律。 结果表明，当G l a u b e r 动力学占主导地位时，相变温度随小世界几率 的增加而增大，而当K a w a s a k i 动力学占主导地位时，无论小世界几 率为何值，损伤有扩散但是无相变的发生。动力学及小世界作用对损 伤扩散均有影响，小世界几率风越大，损伤越不容易扩散，原因是损 伤扩散被拥有最多条边的节点的数量所决定。另外，对于此模型，簇 系数随着小世界几率的增大而减小，而且其变化关系是线性的。对 这一结果我们给出了解析解释，并进一步指出文献中现有的簇系数 c 2 的定义在某些情况下不能正确反映网络的聚集程度。为能正确反映 网络的聚集程度，我们应该寻
3、找或定义更合适的物理量。 利用G l a u b e r 动力学研究了三角格子上D i l u t e d I s i n g 模型及P o t t s 模型的损伤扩散问题。在D i l u t e d I s i n 9 7 模型中讨论了断键几率与损伤 扩散的关系，结果表明在断键几率高于某一定值时，损伤扩散程度低 于5 0 。当点阵中的点大部分为孤立点的时候，损伤扩散被冻结在 初始状态。同时，随着断键几率的增大，模型的损伤扩散临界温度随 之减小。文中还计算了簇系数随断键几率的变化，结果与前人所定义 的簇系数一致，说明c 2 可以用来表示此D i l u t e d I s i n g 模型的
4、聚集程 度。对于鼋阶P o t t s 模型( 2 B C 见 当点，度为7 时，过点，的三连接的数量为2 l ，过，的三角形数量有六种情况： a 三角形的数量为6 这是格点J 的非近邻点不在其次近邻及次次近邻中 如图3 - 8 ，即格点j 的非近邻点不在7 1 8 的点中，且格点f 的最近邻的点互不 成为非近邻。 b ，三角形的数量为7 ，此时又分为两种情况： ( 1 ) 格点j 的非近邻点是其次次近邻中的一点如图3 - 8 ，格点j 的非近 邻属于7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 7 点中的一个，且格点j 的最近邻的点互不成为非 近邻 、 ( 2 ) 格点j 的非近邻点不在其次
5、近邻及次次近邻中，但是格点J 的最近邻 的点中有一对点互为非近邻 c ，三角形的数量为8 ，此时分为三种情况： ( 1 ) 格点珀q 非近邻点是其次近邻中的一点，如图争8 ，格点f 的非近邻属 于8 。l O ，1 2 ，“，1 6 ，1 8 点中的一个，且格点j 的最近邻的点互不成为非近邻 ( 2 ) 格点j 的非近邻点是其次次近邻中的一点，同时格点，的最近邻的点 中有对点互为非近邻 ( 3 ) 格点j 的菲近邻点不在其次近邻及次次近邻中，同时格点l 的最近邻 的点中有= 对点互为非近邻 d ，三角形的数量为9 ，此时分为三种情况： ( 1 ) 格点，的非近邻点是其次近邻中的一点，同时格点j
6、 的最近邻的点中 有一对点互为非近邻 ( 2 ) 格点j 的非近郐点是其次次近邻中的一点，同时格点j 的最近邻的点中 有二对点互为非近邻。 ( 3 ) 格点，的非近邻点不在其次近邻及次次近邻中，同时，的最近邻的点 中有三对点互为非远邻。 e 三角形的数量为l O ，此时分为两种情况： ( 1 ) 格点J 的非近邻点是其次近邻中的一点，同时格点f 的最近邻的点中 有二对点互为非近邻。 ( 2 ) 格点j 的菲近邻点是其次次近邻中的一点，同时格点j 的最近邻的点 二维三角点阵上I s l n g 和P o t t s 模型的损伤扩散研究 中有三对点互为非近邻 f ，三角形的数量为l l ，仅存一种
7、情况，即格点f 的非近邻点是其次近邻中 的一点，同时格点f 的最近邻的点中有三对点互为非近邻 分别以相应的口以岛正岛表示具有这六种情况的格点的数量，则口+ b4 - c + d + 口+ 厂- 阿其中按统计概率有4 b c d P 二 ， 则根据。定义有 G 。寺善岛 。I 6 A + 7 B + 8 C + 9 D + 墅! 堡：墼! ! 生：! 丝! ! 坚1 “I 1 2 1 ( 。( 为微小量) 。 6 ( N - n ) + B + 2 C + 3 D ，+ 6 n + b + 2 c + 3 d + 4 e + S f 一、。 一三+ ( 旦一三) 旦+ B + 2 C + 3 D
8、 + b + 2 c + 3 d + 4 e + S f 1 52 11 5N 1 5 N 2 I N - ；一砉只+ 当p s = O 时，口= b = c = d = P = f = 0 上憎= C = D = 0 ，c ：= 兰锄= 1 o 时c 2 = j 2 4 + o ( 6 9 2 0 2 8 5 7 + o ( 0 ) 模拟计算得到o = 0 2 8 8 误差为 0 0 0 2 3 所以，二维三角格子小世界网络模型中簇系c 2 2 詈一云见+ “毋可见 。与小世界几率“成正比的关系，但比例系数为负，即。随着函的增大而减小 按照普遍的理解。网络中连线越多，凸越大，则应该聚集程度越
9、高但是在 本文所定义的这种小世界模型中，o 随着函的增大而减小，可见目前文献中现有 的簇系数G 的定义已经不能正确反映网络的聚集程度。这说明。的定义有问题， 在某些情况下不能反映网络的集聚性。例如当系统没有三角形时C 2 = O ，显然失 去作用文中计算时融增加三角形没有交化，而度增加了，所以。下降。有学 者已经证明，在现实网络中，簇系数不变或随格点度作对数衰减 4 9 1 。我们希望 在以后的工作中，能够定义出适应范围更广的簇系数。 ( 二) 三角格子D i l u t e d I s i n g 模型上的损伤扩散 1 模型 如果将之前所定义l ：I J I s i n g 模型上的一部分键
10、断裂，即将 s i n g 模型“稀释”t 就 I S 内蒙古师箍大学硕士学位论文 褥到了D i l u t e d - I s i n g 模型。这种被“稀释”的I s i n g 模型经常被用于描述不同材料 的磁性它对于理解无序的铁磁体的行为非常重要岱5 ”。 郭子政教授将损伤扩散技术应用予3 - 1 2 格子的D i l u t e d - I s i n g 模型上l 翘 得到结论在G l a I I b e r 动力学作用下。损伤扩散与模型的稀释程度有很大关系。当 断键率大于某一定值时，损伤扩散的最大值将低于5 0 ，并且随着断键率的增 加损伤扩散的最大值也将逐渐降低，当断键率大于2
11、 0 的时候，损伤几乎冻 结，即 o 。而为格点自旋。对与 格点f 有连线的自旋求和。 在此模型中，仅利用了G i a u b e r 动力学印= 1 O ) ，得到图3 - 1 0 所示的结果。 从图中可以看到，当x 0 6 时，即点阵中有超过6 0 的键没有断裂时，损伤能 够达到5 0 的程度，即D = O 5 。而当存在的键仅为x = 0 4 的时候，损伤D O 7 5 时，可以看出，相变图像中有兰9 = ”时的临界温度殆小于p = 0 2 时的临界温度7 “这与酋人们对于动力学对损伤 扩散的影响的研究结栗不符另外对于文中定义的模型，簇系数随着小世弄凡率 的增大而减小而且其变化关系是线性
12、的对这结果给出了解析解释，并进 一步指出文献I | l 现有的簇系数G 的定义在某些情况下不麓正确反映网络的聚集 程度为能正确反映网络的聚集程度。应该寻找或定义更合适的物理量 对于D i l u t e d - I s i n g 模型仅仅利用G l a u b c r 动力学来进行研究讨论了粤i 键 冉鼙r 占弗维失学确士学位论文 几率与损伤扩散的关系，得到在断键几率高于莱一定值时，损伤扩散程度低予 5 0 ，当点阵中的点大部分为孤立点的时饭，损伤扩散被冻结在初始秋杏同时， 随着断键几率的增大，模型盼叛伤扩缴临界湿度睫之减参。认为孤童患的数量导 致了如此的损伤的扩散文中还计算了以断键几率为函
13、数的簇系数，与传统定义 的簇系数趋子一致 二维三角点阵上b m g 和P 蛐s 模型的损伤扩散研究 醪相 图3 - 1 三角格子上小世界网络模型，因有统计误差的存在。两图岛均为o 4 0 A n 3 V 0 2 0 1 n 0 3 0 & 54 O4 ，55 O置56 0 r 图3 2 只有6 1 a u b e r 动力学作用时( P = 1 0 ) 的口一，图像，其中A 代表小世界几率。珀9 单位为， 内蒙古师范大学硕士学位论文 。j n 3 。 n o o 245 r 图3 3G l a u b e r 动力学作用占2 0 。A ( p = 0 2 ) ，K a w a s a k i
14、动力学作用占8 0 的栅像， 其中皿代表小世界几率，珀自单位， = ：；I O 0 5 6 “3 V O 。 O 1 札O 2345 r 圈3 - 4G l b e r 动力学与K H a s a l 【i 动力学l ；1 时( p = 0 5 ) 的俨倜像，其中硝表小世 界几率，哟单位为，。 二维三角点阵上K 呜和P 弛模型的损伤扩教研究 6 ” V ” n 1 1 j2 5a O3 j“ r 图3 - 5G l a u b e r 动力学作用占( p = o - 8 ) 。l 【a w a s s k i 动力学作用占加的嗍像，其 中艨小世界几率，7 的单位为，J 譬 0 4 ， I -
15、P 豳3 _ 6 不同小世界几事条件下的严J B I 像其中尉表小世界几搴，伪单位为_ ，墨7 内蘩吉师施夫 ； 焉士擘位论文 0 2 ,O J J“ ， 如 图3 呵G l a 曲e r 动力学下S 喇I 模型上的簇系数，崩小世界几搴 霸3 - S 播点j 的近留，次近备，次次j 匠邻点的分布修况 蛰皇鸳Ip芑自9。8霉黑石 二维三角点阵上l 。i 雌和P 柏模型的损伤扩教研究 图3 - 9x = O 7 的D i l u t e 模型，有统计误差的存在 O，2350 r 图3 一i 0G l a u b e r 动力学作用下，D i l u t e 模型上的损伤扩散，其中J 代表自旋问存在
16、连线 的几率，的单位为，1 点阵大小为3 0 X 3 0 图3 - l l6 1 a u b e r 动力学作用下，D i l u t e 模型上以格点自旋问所存在的连线比率J 为函数 的簇系数，点阵大小为3 0 X 3 0 ，t，善tJ工-8 内蒙古师范丈学硕士学位论文 第四章三角格子P o t t s 模型上的损伤扩散 ( 一) 模型 相对于I s i n g 模型的只具有向上或向下两种自旋状态来说，P o r t s 模型就要比 它丰富的多，它可以有更多形式的存在P o r t s 模型在近些年同样很受到重视， 究其原因，这种模型因为组成内容丰富。使得其与格点统计学上许多重要问题相 关联。在临界问题的研究中，P o t l s 模型
