磁场二、粒子在磁场及复合场中偏转

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1、第 1 页 共 14 页磁场对运动电荷的作用基础知识 一、洛仑兹力磁场对运动电荷的作用力1.洛伦兹力的公式: f=qvB sin， 是 V、B 之间的夹角.2.当带电粒子的运动方向与磁场方向互相平行时，F03.当带电粒子的运动方向与磁场方向互相垂直时，f=qvB 4.只有运动电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中受到的磁场对电荷的作用力一定为 0二、洛伦兹力的方向1.洛伦兹力 F 的方向既垂直于磁场 B 的方向，又垂直于运动电荷的速度 v 的方向，即 F 总是垂直于 B 和 v 所在的平面2.使用左手定则判定洛伦兹力方向时，伸出左手，让姆指跟四指垂直，且处于同一平面内，让磁感线

2、穿过手心，四指指向正电荷运动方向（当是负电荷时，四指指向与电荷运动方向相反）则姆指所指方向就是该电荷所受洛伦兹力的方向三、洛伦兹力与安培力的关系1.洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向称动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现2.洛伦兹力一定不做功，它不改变运动电荷的速度大小;但安培力却可以做功四、带电粒子在匀强磁场中的运动1.不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分三种情况：一是匀速直线运动；二是匀速圆周运动；三是螺旋运动2.不计重力的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径 r=mv/qB；其运动周期T=2m/qB（与速度大小无关） 3.不计重力的带电粒子垂直进

3、入匀强电场和垂直进入匀强磁场时都做曲线运动，但有区别：带电粒子垂直进入匀强电场，在电场中做匀变速曲线运动（类平抛运动） ；垂直进入匀强磁场，则做变加速曲线运动（匀速圆周运动） 【例1】一带电粒子以初速度V 0垂直于匀强电场E 沿两板中线射入，不计重力，由C点射出时的速度为V，若在两板间加以垂直纸面向里的匀强磁场，粒子仍以V 0入射，恰从C关于中线的对称点D射出，如图所示，则粒子从D点射出的速度为多少?解析：粒子第一次飞出极板时，电场力做正功，由 动能定理可得电场力做功为W 1=m（V2v 02）/2，当两板间加以垂直纸面向里的匀强磁场后，粒子第二次飞出极板时，洛仑兹力对运动电荷不做功，但是粒子

4、从与C点关于中线的对称点射出，洛仑兹力大于电场力，由于对称性，粒子克服 电场 力做功，等于第一次电场力所做的功，由动能定理可得W 2=m（V02V D2）/2，W1=W2。由 式得V D= 20V点评：凡是涉及到带电粒子的动能发生了变化，均与洛仑兹力无关，因为洛仑兹力对运动电荷永远不做功。D V0 C 第 2 页 共 14 页【例2】如图所示，竖直两平行板P、Q，长为L，两板间电压为U，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场均匀分布在两板空间内，今有带电量为Q，质量为m的带正电的油滴，从某高度处由静止落下，从两板正中央进入两板之间，刚进入时油滴受到的磁场力和电场力相等，此后油滴恰好从P

5、板的下端点处离开两板正对的区域，求（1）油滴原来静止下落的位置离板上端点的高度h。（2）油滴离开板间时的速度大小。解析：（1）油滴在进入两板前作自由落体运动，刚进入两板之间时的速度为V 0，受到的电场力与磁场力相等，则qv 0BqUd，v 0UBd= ，h=U22gB 2d2gh2（2）油滴进入两板之间后，速度增大，洛仑兹力在增大，故电场力小于洛仑兹力，油滴将向P 板偏转，电场力做负功，重力做正功，油滴离开两板 时 的速度为V x ，由动能定理mg （hL）q U2=mV x 2/2， 222/xvghLqUmgBdLqUm点评：（1）根据带电油滴进入两板时的磁场力与电场力大小相等求出油滴下落

6、时到板上端的高度；（2）油滴下落过程中的速度在增大，说明了洛仑兹力增大，油滴向 P 板偏转，电场力做负功【例 3】如图所示，在空间有匀强磁场，磁感强度的方向垂直纸面向里，大小为 B，光滑绝缘空心细管 MN 的长度为 h，管内 M 端有一质量为 m、带正电 q 的小球 P，开始时小球 P 相对管静止，管带着小球 P 沿垂直于管长度方向的恒定速度 u 向图中右方运动设重力及其它阻力均可忽略不计 （1）当小球 P 相对管上升的速度为v 时，小球上升的加速度多大？（2）小球 P 从管的另一端 N 离开管口后，在磁场中作圆周运动的圆半径 R 多大？（3）小球 P 在从管的 M 端到 N 端的过程中，管壁

7、对小球做的功是多少？解析：（1）设此时小球的合速度大小为 v 合 ，方向与 u 的夹角为 有 cos=u/v 合 =u/ 2vu合 2v此时粒子受到的洛伦兹力 f 和管壁的弹力 N 如所示，由牛顿第二定律可求此时小球上升的加速度为：a=fcos=qv 合 Bcos/m 联立解得：a=quB/m（2）由上问 a 知，小球上升加速度只与小球的水平速度 u 有关，故小球在竖直方向上做加速运第 3 页 共 14 页动设小球离开 N 端管口 时的竖直分速度为 vy，由运动学公式得 2/yvahquBm此时小球的合速度 22yquBhvum故小球运动的半径为 vR21u（3）因洛化兹力对小球做的功为零，由

8、动能定理得管壁对小球做的功为： W=mv2mu 2=quBh【例 4】在两块平行金属板 A、B 中，B 板的正中央有一 粒子源，可向各个方向射出速率不同的 粒子，如图所示若在 A、B 板中加上 UABU 0 的电压后，A 板就没有 粒子射到，U 0 是 粒子不能到达 A 板的最小电压若撤去 A、B 间的电压，为了使 粒子不射到 A 板，而在 A、B 之间加上匀强磁场，则匀强磁场的磁感强度 B 必须符合什么条件（已知 粒子的荷质比 mq=2 l108 kg/C，A、B 间的距离 d10cm，电压U0=4210 4V）？解析： 粒子放射源向各个方向射出速率不同的 粒子，设最大的速率为 vm。则各个

9、方向都有速率为 vm 的 粒子当 A、B 板加了电压后， A、B 两板间的电压阻碍 粒子到达 A 板，其方向是垂直两板并由 A 板指向 B 板。在无电场时， 粒子在沿 B 向 A 板运动方向上有 d=vcost，其中 是 粒子速度与垂直两板的直线的夹角在式中最容易到达 A 板的 粒子应有 0，vv m，即其速度方向由 B 极指向 A 板，且速率最大的 粒子，这些 粒子若达不到 A 板，其余的 粒子均达不到 A 板由动能定理可得 qU0mv m22；若撤去电场，在 A、B 间加上匀强磁场，这些 粒子将做匀速圆周运动，其半径为R，R=mv/qB，由式可知，在 B 一定的条件下，v 越大，R 越大，

10、越容易打到 A 板；反之，当 v 值取最大值 vm 后，若所有具有 vm 的 粒子不能达到 A 板，则所有的 粒子均不能达到 A 板在所有方向上的 粒子中，它 们的轨迹刚好与 A 板相切的情况如图所示在图中与A 板相切的轨迹中最小半径为 R3，若 R3 是具有速率为 vm 的 粒子的半径，则其它具有 vm 的粒子均不能到达 A 板若令 R3为最小值 Rmin时，即图中 Rmin= d2 是所有 粒子中轨迹与 A 板相切的最小半径，将其代入式后得 d2=mv m/qBmin，由 两式可得Bmin=2 d=084T，所以，A、 B 两板之间应加上垂直于纸面的匀强磁场，且磁感强度 qmU/20B 0

11、84 T 时，所有的 粒子均不能到达 A 板第 4 页 共 14 页规律方法 1、带电粒子在磁场中运动的圆心、半径及时间的确定（1)用几何知识确定圆心并求半径因为 F 方向指向圆心，根据 F 一定垂直 v，画出粒子运动轨迹中任意两点（大多是射入点和出射点）的 F 或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半径与弦长的关系(2)确定轨迹所对应的圆心角，求运动时间先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于 3600（或 2）计算出圆心角 的大小，再由公式 t=T/360 0（或 T/2 ）可求出运动时间(3)注意圆周运动中有关对称的规律如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速

12、度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出【例 5】如图所示，一束电子（电量为 e）以速度 v 垂直射入磁感应强度为 B，宽度为 d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 300，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧一部分，又因为 fv，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向交点上，如图中的 O 点，由几何知识知，AB 间圆心角 =300，OB 为半径所以 r=d/sin300=2d 又由 r= 得 m2dBe vBev又因为 AB 圆心角是 300，所以穿过时间 t= T= = 1

13、2Bemvd3【例 6】如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ ）A、电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B电子在磁场中运动时间越长。其轨迹线所对应的圆心角越大C在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同解析：在图中画出了不同速率的电子在磁场中的轨迹，由前面的知识点可知轨迹的半径R=mvqB，说明了半径的大小与电子的速率成正比但由于电子在磁场中运动时间的长短仅与轨迹所对应的圆心角大小有关，故可判断图中五条轨迹线所对应的运动时间关系有t5t 4t 3t 2t 1显然，本 题选项中只有 B

14、正确点评：本题所考查的是带电粒子在矩形（包括正方形）磁场中运动的轨迹与相应的运动时间的关系问题不同速率的电子在磁场中的偏转角大小（也就是在磁场中运动时间的长短） ，由知识点中的周期表达式看来与半径是没有关系的，但由于磁场区域的边界条件的限制，由第 5 页 共 14 页图说明了半径不同，带电粒子离开磁场时速度方向变化可能不同，也可能相同由周期关系式必须明确的一点是：带电粒子在磁场中运动的时间长短决定于轨迹所对应的圆心角【例 7】如图所示，半径 R=10cm 的圆形区域边界跟 y 轴相切于坐标系原点 O。磁感强度B0 332 T，方向垂直于纸面向里，在 O 处有一放射源 S，可沿纸面向各个方向射出

15、速率均为 v=32 106m/s 的 粒子已知 粒子的质量 m= 66410 27 kg，电量 q=32 1019 C（1）画出 粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心的轨迹 （2）求出 粒子通过磁场空间的最大偏转角 （3）再以过 O 点并垂直纸面的直线为轴旋转磁场区域，能使穿过磁场区域且偏转角最大的 粒子射到正方向的 y 轴上，则圆形磁场直径 OA 至少应转过多大的角度 解析：（l） 粒子的速度相同，在同一匀强磁场中运动的半径相同，均由洛仑兹力提供向心力 f= qvB=mv2r，rmvQb=20cm所以 粒子的圆心与 S（即 O 点）的距离均为 r，其圆心的轨迹为以 S 为圆心、以 20cm 为半径的一段圆弧，如图所示（2）由于 粒子的轨道半径 r 大于磁场区域的半径 R，粒子最长的轨迹所对应的弦为2R=r=20cm 时， 粒子在磁 场中最大的偏转角的轨迹就是 粒子在磁场中最长的轨迹线，由于最长的轨迹线的弦长与其轨迹半径相等，所以偏转角的最大值为 =600（3）由（2）中可知 粒子的最大偏转角为 600；且所对的弦为 OA，故 粒