《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)用样本估计总体》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)用样本估计总体（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 用样本估计总体 知识能否忆起 一、作频率分布直方图的步骤 1 求极差 (即一组数据中 最大值 与 最小值 的差 ) 2 确定 组距 与 组数 3 将数据 分组 4 列 频率分布表 5 画 频率分布直方图 二、频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 ： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ， 就得频率分布折线图 2 总体密度曲线 ： 随着 样本容量 的增加 ， 作图时 所分的组数 增加 ， 组距 减小 ， 相应的频率折线图会越来越接近于 一条光滑曲线 ， 即总体密度曲线 三 、样本的数字特征 数字特征 定 义 众数 在一组数据中，出现次数 最多
2、 的数据叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间 位置的一个数据 或最中间两个数据的 平均数 叫做这组数据的中位数 ,在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 相等 平均数 样本数据的算术平均数 即 x 1n(x1 x2 xn) 方差 s2 1n(x1 x )2 (x2 x )2 (xn x )2， 其中 s 为标准差 四、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据 ， 而且可以随时记录 ， 方便记录与表示 小题能否全取 1 2 4 2 0 3 5 6 Go the distance 3 0 1 1 4 1 2 1.(教材习题改编 )在如图所示的茎叶图表示的数
3、据中 ， 众数和中位数分别是 ( ) A 23 与 26 B 31 与 26 C 24 与 30 D 26 与 30 解析： 选 B 观察茎叶图可知 ， 这组数据的众数是 31， 中 位数是 26. 2 (教材习题改编 )把样本容量为 20 的数据分组 ， 分组区间与频数如下 ： 10,20)， 2；20,30)， 3； 30,40)， 4； 40,50)， 5； 50,60)， 4； 60,70， 2， 则在区间 10,50)上的数据的频率是 ( ) A 0.05 B 0.25 C 0.5 D 0.7 解析： 选 D 由题知 ， 在区间 10,50)上的数据的频数是 2 3 4 5 14，
4、故其频率为 1420 0.7. 3 (2012长春模拟 )从某小学随机抽取 100 名同学 ， 将他们的身高 (单位 ： 厘米 )数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在 120,130内的学生人数为 ( ) A 20 B 25 C 30 D 35 解析： 选 C 由题意知 a 10 0.35 0.2 0.1 0.05 1， 则 a 0.03， 故学生人数为 0.3 100 30. 4 (教材习题改编 )甲 、 乙两人比赛射击 ， 两人所得的平均环数相同 ， 其中甲所得环数的方差为 5， 乙所得环数如下 ： 5、 6、 9、 10、 5， 那么这两人中 成绩较稳定的是 _ 解析： x 7，
5、 s2乙 4.4， 则 s2甲 s2乙 ，故乙的成绩较稳定 答案： 乙 5 (2012山西大同 )将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组 ， 绘制频率分布直方图 ， 若第一组至第六组的数据的频率之比为 2 3 4 6 4 1， 且前三组数据的频数之和为 27， 则n _. Go the distance 解析： 依题意得，前三组的频率总和为 2 3 42 3 4 6 4 1 920，因此有 27n 920，即 n60. 答案： 60 1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐
6、标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标 2 注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率 /组距 3 方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 ，但在解决实际问题时，一般多采用标准差 用样本的频率分布估计总体分布 典题导入 例 1 (2012广东高考 )某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示 ， 其中成绩分组区间是 ：50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)， 90,100 (1)求图中 a 的值 ； (2)根据频率分布直方图 ， 估计这 100
7、名学生语文成绩的平均分 ； (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 (x)与数学成绩相应分数段的人数 (y)之比如下表所示 ， 求数学成绩在 50,90)之外的人数 . 分数段 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) x y 1 1 2 1 3 4 4 5 自主解答 (1)由频率分布直方图知 (2a 0.02 0.03 0.04) 10 1，解得 a 0.005. (2)由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为 55 0.005 1065 0.04 10 75 0.03 10 85 0.02 10 95 0.005 10 73(分 ) (3)由频率分布
8、直方图知语文成绩在 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)各分数段的人数依 Go the distance 次为 0.005 10 100 5,0.04 10 100 40,0.03 10 100 30,0.02 10 100 20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40 12 20,30 4340,20 54 25. 故数学成绩在 50,90)之外的人数为 100 (5 20 40 25) 10. 在本例条件下估计样本数据的众数 解： 众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为 65. 由题悟法 解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图
9、中各小长方形的面积之和为 1. (2)直方图中纵轴表示 频率组距 ， 故每组样本的频率为组距 频率组距 ， 即矩形的面 积 (3)直方图中每组样本的频数为频率 总体数 以题试法 1 (2012深圳调研 ) 某中学组织了 “ 迎新杯 ” 知识竞赛 ， 从参加考试的学生中抽出若干名学生 ， 并将其成绩绘制成频率分布直方图 (如图 )， 其中成绩的范围是 50,100， 样本数据分组为 50,60)， 60,70)，70,80)， 80,90)， 90,100， 已知样本中成绩小于 70 分的个数是 36， 则样本中成绩在 60,90)内的学 生人数为 _ 解析： 依题意得，样本中成绩小于 70 分
10、的频率是 (0.010 0.020) 10 0.3；样本中成绩在 60,90)内的频率是 (0.020 0.030 0.025) 10 0.75，因此样本中成绩在 60,90)内的学生人数为 36 0.750.3 90. 答案： 90 Go the distance 茎叶图的应用 典题导入 例 2 (2012陕西高考 )从甲 、 乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机 ， 对其销售额进行统计 ， 统计数据用茎叶图表示 (如图所示 ) 设甲 、 乙两组数据的平均数分别为 x 甲 、 x 乙 ， 中位数分别为 m甲 、 m 乙 ， 则 ( ) A. x 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m
11、 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m C n m D 不能确定 (2)(2012山东高考 )在某次测量中得到的 A 样本数据如下 ： 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据 每个都加 2 后所得数据 ， 则 A， B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) A 众数 B 平均数 C 中位数 D 标准差 自主解答 (1) x x1 x2 xnn ， y y1 y2 ymm ， z x1 x2 xn y1 y2 ymm n ， 则 z n x m ym n nm n x mm n y . 由题意知 0 nm n 12， n
12、m. (2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变 答案 (1)A (2)D 由题悟法 (1)众数体现了样本数据的最大集中点 ， 但无法客观地反映总体特征 (2)中位数是样本数据居中的数 Go the distance (3)标准差 、 方差描述了一组数 据围绕平均数波动的大小 标准差 、 方差越大 ， 数据越分散 ， 标准差 、 方差越小 ， 数据越集中 以题试法 3 (2012淄博一检 )一农场在同一块稻田中种植一种水稻 ， 其连续 8 年的产量 (单位 ： kg)如下 ： 450,430,460,440,450,440,470,460
13、， 则该组数据的方差为 ( ) A 120 B 80 C 15 D 150 解析： 选 D 根据题意知 ， 该组数据的平均数为450 430 460 440 450 440 470 4608 450， 所以该组数据的方差为18 (02 202 102 102 02 102 202 102) 150. 1 (2013豫西五校联考 )某人 5 次上班途中所花的时间 (单位 ： 分钟 )分别为 8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 ( ) A 8 分钟 B 9 分钟 C 11 分钟 D 10 分钟 解析： 选 D 依题意 ， 估计此人每次上班途中平均花费的时间为 8 12 10 11 95 10分钟 2 (2012湖北高考 )容量为 20 的样本数据 ， 分组后的频数如下表 ： 分组 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间 10,40)的频率为 ( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 解析： 选 B 求得
