微积分函数、极限、连续ppt综述

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1、1,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,2,哪些主要的科学问题呢?,有四种主要类型的问题.,Archimedes,3,第一类问题,已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。,4,困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，

2、计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。,第一类问题,5,求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。,第二类问题,6,第二类问题,困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。,

3、7,第三类问题,求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。,8,困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。,第三类问题,9,第四类问题,求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。,10,困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。

4、,第四类问题,11,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,12,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,1 函数、极限与连续,1.1 函数 1.2 初等函数 1.3 极限概

5、念 1.4 极限的计算 1.5 无穷小量与无穷大量 1.6 函数的连续性,1.1 函数,1.1.1 区间及邻域 1.1.2 函数的定义 1.1.3 医学中常用的函数表示法 1.1.4 函数的性质,1.1.1 区间及邻域,区间 (interval),开区间,a,b,闭区间,a,b,半开半闭区间 (a,b、a,b),以上区间统称为有限区间,无限区间 ( P.1自学 ),邻域,(neighborhood),邻域是一种特殊的区间。,点a的邻域,a,a -,a +,点a的空心邻域,a,a -,a +,右邻域 (a , a +)，左邻域 (a -, a),1.1.2 函数的定义 ( function),设

6、在某变化过程中有两个变量 x、y， 如果对于 x 在某个范围D内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 f ，y 都有（唯一）确定的值 与它对应，则称变量 y 是确定在D上的 x 的函数。,定义1.1,x ： 自变量 x的取值范围D： 定义域 y ： 因变量(函数变量) 函数值 y的取值范围： 值域，记为 f(D),(function),记为： y = f (x)，xD,1. 决定一个函数的因素有哪些？ 2. 如何确定函数的定义域？,1.1.3 医学中常用的函数表示法,列表法 用表格列示出x与y的对应关系。,图像法 以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x,解析法 用等式表示出x与y的关系。,优

7、点：便于查出函数值。,与y的对应关系的曲线。,优点：容易观察函数的变化趋势。,优点：便于从理论上对函数进行定性,研究与定量分析。,医学和物理学中常用的分段函数：,例1.1.1,符号函数,x,y,o,-1,1,例1.1.2,脉冲函数,x,o,y,例1.1.3,x,y,o,1.1.4 函数的性质,奇偶性,设函数 y = f (x)，xD，D是对称于原点的数集 。若对D上任何 x ， 如果 f (x) = f (x)，则称 y = f (x) 为偶函数； 如果 f (x) =f (x)，则称 y = f (x) 为奇函数。 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。,单调性,设函数 y

8、 = f (x)，xD。若对于D内任意两个 x1， x2， 当 x1 x2 时，总有 f (x1) f (x2)，则称函数 y = f (x) 是D上的单调递增函数； 当 x1 x2 时，总有 f (x1) f (x2)，则称函数 y = f (x) 是D上的单调递减函数。,递增函数的图像一般是上升的，递减函数的图像一般是下降的。,周期性,设函数 y = f (x)，xD。若存在常数 T ，使对D上任何 x ，都有 f (x + T) = f (x) 则称 y = f (x) 为周期函数。并称 T 为 y = f (x) 的一个周期。 若在周期函数的所有周期中有一个最小正常数，则称其为基本周期

9、。,有界性,设函数 y = f (x)，xD。若存在正数 M ，使对D上任何 x ，都有 f (x) M 则称 f (x) 在 D 上有界，并称 f (x) 是 D 上的有界函数。 否则，称函数 f (x) 在 D 上无界。 有界函数的图像必落在直线 y = M 与 y = -M 之间的带形区域内。,1. 结论 “函数 y=3x+5 是无界函数” 正确否? 2. 结论 “函数 y=cosx 不是单调函数” 正确否？ 3. 考察函数y=1/x 在 1, +) 的单调性和有界性。,26,且,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设

10、,27,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,1.2 初等函数,1.2.1 基本初等函数 1.2.2 复合函数 1.2.3 反函数 1.2.4 隐函数 1.2.5 初等函数,1.2.1 基本初等函数,( basic elementary function ),P.6 表1.2,1.2.2 复合函数,设 y = lnu，u =1- x2。问：能否通过变量 u， 将 y 表示成以 x 为自变量的函数？,当 x(-1, 1)，能通过变量 u 将 y 表示成 x 的函数：,y = ln(1- x2), x(-1, 1),当 x(-

11、, -11, +)时，不能通过变量 u 将 y 表示成 x 的函数。,D*,定义1.2 (复合函数),设 y 是 u 的函数 y = f (u)， u 是 x 的函数 u =(x)。D* 表示 u =(x) 的定义域中使得函数 y = f (u) 有意义的全体 x 的非空集合。则当 xD* 时， 函数 u =(x) 所对应的 u 值使得函数 y = f (u) 有确定的值与x 相对应，从而得到一个以 x 为自变量，y 为因变量的函数，记为 y = f (x ) ， xD* 这时，称 y 为 x 的复合函数。其中，称 y = f (u)为外函数，u =(x) 为内函数，u 为中间变量。,复合函数

12、的映射示意图,y,u,x,y = f (u),u =(x),y = f (x),说明：,复合函数还可以由多个（三个及其以上）基本初等函数经多次复合构成。 并不是任何两个函数都可以复合成有意义的复合函数。 如 y=ln(u-8) 与 u=sin x 构成的复合函数 y=ln(sinx-8) 就没有意义。,写出由 y = eu，u = -2x 复合而成的函数。,复合函数为 y = e -2x，x(-, +)。,例1.2.1,解：,例1.2.2,分解复合函数 y = lntanx。,解：,y = lnu ， u = tanx 。,例1.2.3,分解复合函数 y = sin8(8x+sinx)。,解：

13、,y = u8 ，,u = sinv ，,v = 8x+sinx 。,1.2.3 反函数,(自学),1.2.4 隐函数,显函数,由形式 y = f (x) 表示的函数。,隐函数,由方程 F( x, y )=0 表示的函数。,如,x2 + y 2 =R2,y x +ln(xy)+sin(xy)+8=0,1.2.5 初等函数 (Elementary function),由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合步骤所构成的，能用一个解析式子表示的函数称为初等函数。,初等函数是高等数学的主要研究对象。,在高等数学中，把不是初等函数的函数统称为非初等函数。,如：有些分段函数就不是初等函数。,37

14、,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,38,内容小结,1. 集合区间、邻域,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,2. 函数的定义及函数的二要素,1.3 极限概念,1.3.1 数列极限 1.3.2 函数极限 1.3.3 单侧极限,极限是一种非初等运算 极限以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律 极限是高等数学中一种重要的研究方法,40,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学

15、,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,1.3.1 数列极限 (limit of sequence ),数列极限的实质：考察当 n+时，数列an 的通项 an 的变化趋势。,引例,考察数列an 的变化趋势：,O x,-1,1,a1,a2,a3,a4,O x,2,1,a1,a2,a4,an,3,n,O x,-1,a2n-1,a2n,1,a3,定义1.3,已知数列 xn ，A 是某确定常数。若当数列的项数n无限增大时，数列的项xn与常数A的距离 | xn - A | 任意小，则称数列 xn 以常数A为极限，记为,或,如果一个数列的极限存在，则称该数列是收敛(converge)的；如果一个数列的极限不存在，则称该数列是发散(diverge)的。,43,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收