人口增长数学模型讲解

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1、2014年南京邮电大学数学建模竞赛论文2014年南京邮电大学数学建模竞赛题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究摘要本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的国家人口发展战略研究报告中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的中国人口老龄化发展趋势预测研究报告中关于“2051年，

2、中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变

3、化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。关键字单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型一、问题描述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些

4、理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。二、问题分析（1）针对本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的国家人口发展战略研究报告中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年。”的论述

5、做了研究。我们搜集了大量关于计划生育实施前也就是1982年之前的人口数据。因为建国初年坚持着“人多力量大”的口号，人口增长几乎没有受到政策层面的影响，鼓励生育成为那个时期的主题。然而，人口的增长受环境、经济等因素的影响，不能无休止的增长，因而，我们选择灰色预测模型来分析计划生育实施前的人口状况，使得人口增长的预测更能贴合之前的增长趋势。通过简单的最小二乘法，拟合1982年之前的数据，并且利用灰色预测模型，预测1990、2000、2005、2010年的人口，将其与这四年的实际情况进行对比，根据预测与实际的差值，分析计划生育政策对中国人口总数的影响程度。人口老龄化的加剧又是中国的另一个国情。自上世

6、纪九十年代以来，我国老龄人口急剧增加，二十一世纪初，进入老龄化社会。中国人口老龄化发展趋势预测研究报告中提到“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿。这一阶段，老年人口规模将稳定在3-4亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”。随着医疗水平的提高，老龄人口死亡率已经降到很低的水平，短期内将继续维持。由于人口惯性的影响，大量人口涌入老龄人口，老龄人口数量急剧上升。因此，研究老龄人口数量更适合传统的阻滞增长模型，可以综合考虑近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测未来40年到70年的老龄人口数量和老龄化率。与官

7、方的报告进行比较，探讨老龄化的严重性。（2）根据近期国家调整的计划生育新政策，“单独二孩”政策会直接影响妇女的生育率。然而，由于我国人口结构、经济结构复杂，关于“单独二孩”政策的影响不能一概而论。农村、城市的差异，不同地区经济发展水平的差异，各地区采取不同的新政策。生育第二个孩子和生育第一个孩子的妇女叠加，符合条件的单独夫妇是否选择生育二孩更多得取决于他们的意愿。再加之，新政策实施不久，具体的理论和实践数据都不够成熟，因此建立数学模型的难度更大。我们简化数学模型，从年龄、地区差异下手，假设已知的和比较可靠的概率数据，建立差分方程模型，使用Leslie矩阵模型，分析按年龄分组的人口模型。同时，我

8、们考虑城镇化和人口迁移的因素，分析人口移动对人口结构的影响。三、模型假设3.1 假设所有表征和影响人口变化因素都是在整个社会人口平均意义下确定的；3.2 预测期间出生和死亡水平比较稳定，即使有变化，也比较有规律的；3.3 由于预测全国人口数，人口当作一个整体，假设近几年我国的迁入迁出人口基本保持平衡；3.4 假设对未来人口的预测能最大可能符合人口发展的未来趋势；3.5 假设任何影响人口变化的因素在未对人口造成影响之前不会因某种特殊原因自动消失；3.6 预测用的基础人口总数、出生率等与实际相近，比较准确。四、符号说明:灰色预测模型的灰色系数:老年人口总数:老年人口增长率:时间(年数):将表示为的

9、函数:某一年老年人口数的初始值:自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量:以自变量建立函数中函数的比例系数（以下符号均代表在“单独二孩”政策前严格执行计划生育的情况） 分别表示乡村、镇、市第年岁人口的死亡率 分别表示乡村、镇、市第年岁的人口数 分别表示乡村、镇、市第年岁的女性生育率 分别表示乡村、镇、市第年岁人口的女性比 分别表示乡村、镇、市第年的婴儿死亡率 分别表示乡村、镇、市第年的出生人数 分别表示乡村、镇、市第年岁女性的生育模式 分别表示乡村、镇、市第年的总和生育率 分别表示乡村、镇、市第年的总人数 分别表示乡村、镇、市第年岁女性的总人数分别表示乡村、镇、市第年岁女性的死亡率 分别表示乡

10、村、镇、市第年岁男性的总人数分别表示乡村、镇、市第年岁男性的死亡率 表示为迁移人口中女性所占比例 分别表示乡村、镇、市出生人口中女性所占的比例（以下符号均代表在计划生育新政策“单独二孩”下的情况）分别表示乡村、镇、市第年岁的女性生育二孩的概率； 分别表示乡村、镇、市已经有过生育的女性比例 分别表示乡村、镇、市符合“单独二孩”政策的比例分别表示乡村、镇、市受新政策影响第年岁的女性生育率；五、模型的建立与求解5.1 使用最小二乘法和灰色预测模型分析计划生育实施前的人口数据5.1.1 使用MATLAB进行最小二乘法分析19491980全国人口数据（单位：万）年份1949195219581961196

11、419671970197319761982人口54167574826146565346664577049976032825428876193267根据上表数据，将我国1949年至1982的总人口数按每三年一组共10组输入MATLAB，并进行数据拟合画图，得到图一输入的程序为x=1949,1952,1955,1958,1961,1964,1967,1970,1973,1976,1979,1982;y=54167,57482,61465,65346,66457,70499,76032,82542,88761,93267,97542,101654;plot(x,y);p=polyfit(x,y,6)

12、; z=polyval(p,x) ; plot(x,y,*,x,z,r)接着由输出的结果来看利用最小二乘法拟合得到的数学方程为根据以上拟合的方程得到计划生育实施后的人口预测曲线 根据计划生育实施前数据拟合的1990-2010人口数据与真实数据统计表(单位：亿)年份1990200020052010人口拟合数目12.815.017.419.1实际人口数11.612.913.313.75.1.2 使用灰色预测模型分析由原始数据得 （k=1,2.6）构造累加生成序列得到 （k=1,2.6）构造数据矩阵和数据向量，得到 计算 ： 所以 把和 带入时间响应方程 因为=602， = ，所以时间响应方程为 可

13、以得到 1442.572882403.005343500.388484754.250476186.90406 840.57288910.432461094.383141253.861991432.65359所以求得实际值 模型计算值 残差E（k）相对误差e(k)723840.57288-117.5728816.261809%1032910.43246121.5675411.7798%11601094.3831465.616865.656626%12951253.8619941.138013.177668%13711432.65359-61.65359-4.49698%后验差检验：(1)的均值：

14、 =1030.5(2)的方差： =28.0905(3)残差的均值：= 9.819188(4)残差的方差：=78.587019(5)后验差检验： =0.27760387(6)小误差概率： 5.1.3模型分析与结论通过简单的二分法拟合和灰色预测模型的检验，通过表格和曲线图可以清晰的表明，计划生育政策对人口控制有非常明显的作用。根据2005年的拟合数据与2005年的实际人口相比，计划生育实施后全国人口确实少生4亿。然而，经过对网上各种资料的搜集，我们发现，相关研究人员是“采取了非常简单而间接的方法。换句话说，这个研究的方法还是从人口到人口，用粗出生率来模拟粗出生率”，忽视了随着人们对生育的认识发展过程，忽视了经济发展对人们转变生育观念的重要作用，“30年少生4亿人”是对一个原本没有经过认真科学论证的计算并被进一步误传的说法，是为了“强行”计划生育而使用的借口。政府与政策制定者的职责在于怎样从实际出发，从百姓和社会的利益出发，制定和完善社会政策，而不能传播根据不足、缺乏事实支撑的说法，更不应把“30年少生4亿人”当