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1、 第八章 空间解析几何与向量代数 8.1向量及其线性运算 一、向量的相关概念 1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量). 2. 向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 或. 3. 向量的模：称向量的大小为向量的模，记为. 4. 自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移) 5. 单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作. 6. 零向量：称模为0的向量为零向量，记作 7. 两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8. 两向量的夹角：， 9. 两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作. 规定: 零向量与任何向量平行 10
2、. 两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作 注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11. 向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12. 向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面. 二、向量的线性运算 1向量的加减法 (1). 向量的加法 运算法则：设有向量与，求与的和. I. 三角形法则： II. 平行四边形法则：. .运算规律： 1. 交换律： 2. 结合律： 注: ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即. (2). 向量的减法 负向量：称与向量同模反向的
3、向量为它的负向量，记作 . 两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作. 注：特别地，当时，. 运算法则：设有向量与，求与的差. I.平行四边形法则：. II.三角形法则：. (3). 运算定理：. 2向量与数的乘法 (1). 定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘. 注：1. 规定是一个向量 2. 3. 若，则与同向；若，则与反向；若，则. (2). 运算规律： 结合律：. 分配律：. (3). 性质 向量的同向单位向量： ，. 向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于 唯一的实数，使 数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数 称为有向线段的值. 例
4、1. 如图，用、表示、以及 ，进而. 又，故，进而 三、空间直角坐标系 解：由于，故 1. 空间直角坐标系：坐标系或坐标系 2. 坐标面：面；面；面. 3. 卦限：； ； ； ； 4. 空间点的坐标： (向径). (1). 向量的坐标分解式：. (2). 向量的分向量：. (3). 向量的坐标：. (4). 点的坐标： 注：1. 面上点的坐标：； 2. 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：； 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：. z轴上点的坐标： 四、利用坐标作向量的线性运算：设，. 1. 向量线性运算的坐标表示： (1). 加减法：. (2). 数乘： (3). 两向量平行： 注：1. 若，则 2
5、. 若，则 例2. 已知，求线性方程组的解向量 解：方程乘2减去方程乘3得：， 方程乘3减去方程乘5得： 例3. 已知两点、在直线AB上求一点M，使. 及实数，解：因为，因此有，整理得 ， 代入坐标得 ， 从而得到点M的坐标 注：线段AB中点坐标公式 五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式： (1). 向量的模：，. (2). 两点间距离公式：点与之间的距离： 推导：因为，所以 例4. 求证以三点、为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点间距离公式，有 ； ； ， 由于，故为等腰三角形. 例5. 在z轴上求与两点、等距离的点. 解：由题可设所求点为，有，即 ， 整理得 ，
6、故所求点为. 例6. 已知两点、，求与同向的单位向量 解：因为，所以，于是 2. 方向角与方向余弦 (1). 向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角 (2). 向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1. ； 2. . 例7. 已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角. 解：由于，从而有 于是，由此可得 例8设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标 、，且，求点A ，解：由于，并且，有 由题可知，故，于是，故点A的坐 标为. 3. 向量在轴上的投影 (1). 向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或 注：向量在三个坐标轴上
7、的投影即为对应的坐标，即 ， (2). 投影的性质： . 例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在 解：记，有 ， 于是 . 8.2数量积、向量积 一、两向量的数量积 1常力沿直线所作的功： 2. 两向量的数量积 (1). 定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积， 内积或点积，记作 注：1. 2. . 3. . (2). 运算规律 交换律：.(由定义可知) 分配律： 结合律：； 3. 两向量数量积的坐标表示式：若，则 4. 两非零向量夹角余弦的坐标公式： 例1. 试用向量证明三角形的余弦定理： . 解：在中，记， ，有，从而 ，即 例2. 已知三点、和，
8、求 解：由题可得，于是 ，故 例3. 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v. 设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m (液体的密度为 解：单位时间内经过该区域的液体的体积为， 所求质量为. 二、两向量的向量积 1. 力对支点的力矩： 模：； 方向：与及的方向成右手规则. 2. 两向量的向量积 (1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中 ，方向与和的方向符合右手规则，记作. 注：1. 2. 3. 的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积. (2).运算规律 反交换律：. 分配律：. 结合律：
9、 (3). 两向量的向量积的坐标表示式：设，则 . 例4. . 证明：在三角形中，记，由于 ，即， 整理得 . 例5. 设，计算 解： . 例6. 已知三角形ABC的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积 解：由于，有，于是 . 例7. 设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度. 解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为， 则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知， ，且、符合右手规则，于是. 8.3曲面及其方程 一、曲面方程的相关概念 1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐
10、标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形. 2.关于曲面的两个基本问题 (1). 已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程. (2). 已知关于点的坐标、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状 例1. 建立球心在点、半径为R的球面方程 解：设为所求球面上任一点，有，即， 整理得 例2. 设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程. 解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即 ， 整理得 例3. 方程表示怎样的曲面？ 解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面. 二、旋转曲面 1. 定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面
11、为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴. 2. 旋转曲面的方程： 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：. (绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.) (巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁 推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中， 点到z轴的距离，由于，有， 即，代入曲线方程有 注：1. 曲线C：绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 2. 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 3. 常见旋转曲面及其方程 (1). 圆锥面及其方程 圆
12、锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角 圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中 推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为 ，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为 ，整理得 注：1. 以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x ，其中 2. 以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y ，其中 (2). 旋转双曲面及其方程 旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双 叶双曲面 旋转双曲面的方程：(双曲线： . 旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转 . 旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转) 三、柱面 1. 柱面的定义： 称由直线L沿定曲线C平行于定直线l移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线. 2. 几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁 (1). 圆柱面：. (准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴 . (准线为坐标面上的圆：，母线平行x轴 . (准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴 (2). 过坐标轴的平面：，过z轴，
