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1、第6章 有噪信道编码,第6章 有噪信道编码,内容提要 本章介绍了信道编码和译码的基本概念，介绍了两种常用的译码准则：最大后验概率译码准则和极大似然译码准则,还介绍了在这两种译码准则下错误概率的计算方法。 本章还介绍了信道编码定理及信道编码逆定理，以及信息论中的一个重要不等式Fnao不等式。,61 信道编码的基本概念,信源输出序列u，经信道编码器编成码字x = f (u) 并输入信道，由于干扰，信道输出y，信道译码器对y估值得 = F (y) 。,信源编码以提高传输效率作为主要考虑因素，信道编码以提高传输可靠性作为主要考虑因素。,【例6.3】 逆重复码 离散无记忆二进制对称信道，固有误码率为p
2、(p0.5)，信源输出序列为三位二进制数字。 编码规则：为提高传输效率，仅向信道发送一位，预先将信源输出序列进行择多编码:,图6-3 逆重复编码传输示意图,译码规则：将接收的 一位符号重复三次译出，即若接收到1就译码为111，即若接收到0就译码为000。,信源输出的三位符号中有两位或3位是1，信源序列编码为1，若三位符号中有两位或3位是0，就将此信源序列编码为0。,计算差错概率pe ： （1）先设p = 0，计算这种编码方法带来的固有错误p1信道输入符号集 X = 000,001,010,011,100,101,110,111 判决输出符号集Y = 000,111,译码规则 因为后验概率 则出
3、错概率,两个估值序列也是等概分布的，则每个序列的平均错误概率为 误比特率 （2）再设p0，计算由于信道噪声引起的错误概率p2。因为每个序列有三位二进制数字，但只发送一位，这一位的出错概率为p，故序列差错概率为p，误比特率 （3）总差错概率（误比特率）：,62 译码规则及错误概率,信道总不可避免会搀杂噪声，所以信息在信道传输过程中，差错是不可避免的。选择合适的译码规则可以弥补信道的不足。,1最大后验概率译码准则,发送码矢xk ，其发送概率为q(xk) ，通过信道转移概率为 p(yxk)的信道传输，接收到矢量y，信道译码器输出 通信过程可用图65所示框图表示。,下面介绍两种典型的译码规则：,图65
4、 通信过程框图,当估值 xk 时，就产生了误码，用（xy）表示后验概率，则收到y估错的概率为 （6-2）,通信总希望错误概率最小，由式(6-2)可看出错误概率pe (xk ) 最小等同于后验概率（xky）最大，这就是最大后验概率译码准则。,根据概率关系式 （6-3）,根据式（6-3）后验概率（xy）最大的就意味着p（x y）全概率最大，因此最大后验概率译码准则也称为最大联合概率译码准则。,【例6.5】 信源分布 ，信道 转移概率矩阵 ， 信道输出符号Y = y1, y2, y3，按最大后验概率准则译码。,(1)根据p (xy) = p (yx) q(x) 算出全概率，用矩阵表示,(2)根据 ，
5、算出 （y） = 0.38 0.34 0.28,(3)再由 算出后验概率，用矩阵表示,(4)按最大后验概率准则译码，在后验概率矩阵中，每列选一最大值（矩阵中带下划线的值），译为,(5)若按最大联合概率译码准则译码，在全概率矩阵 p(xy)中每列选一最大值（矩阵中带下划线的值），也可译出 。,在实际应用中，一般最大信道转移概率来确定估值 ，即在收到矢量y后，在所有的xm (m =1, 2, , M) 中,选一个 转移概率p(yxm)最大的xm值，作为对y的估值 = xk ，这一译码规则称为极大似然译码规则。,2极大似然译码准则,3平均错误概率,由下式是信道输出y二信道译码器估错的概率，,对上式求
6、统计平均,（6-4）,（1）求平均错误概率pe 根据式（6-4）得 = 0.01+0.12+0.07+0.12+0.1+0.02 = 0.44,【例6.6】 计算例6.5的平均错误概率，若信源等概分布，对其译码，并求平均错误概率。,(2)当信源等概分布，按最大似然函数译码准则译码，例 6.5已给出信道转移概率矩阵 在矩阵的每 列中选一最大值(矩阵中带下划线的值)，译码为 平均错误概率,63 信道编码定理,定理6.1 对于任何离散无记忆信道DMC，存在信息传输率为R，长为n的码，当n 时，平均差错概率 pe exp- nE (R)0，式中E (R) 为可靠性函数，E ( R )在0 R C的范围
7、内为正。,上述定理也称有噪信道编码定理，即Shannon第二定理。,一 随机编码方法,选用长为n的定长码，共可构成kn个矢量，设有M个消息待传（M kn），每次随机地从kn个矢量中抽出M个矢量构成一个码字集合C（允许重复取） C = x1 , , x m , , x M 共可构成knM个这样的码字集合。 由随机编码的构造方法，得到任何一个码字的概率相同，且相互独立。,式中0 , 1，因为 , 都是任意数，可取,二Gallager上界 Gallager上界： （6-8）,三 随机编码错误概率上界,Gallager限仅给出发送码矢xk时的错误概率上界，通过对上述的随机编码集合求平均，可得到随机编码
8、错误概率的上界：,（6-12）,（6-12）平均错误概率的上界，它虽然是针对离散无记忆信道推出的，但对有记忆的离散输入、输出及连续输出都适用，只不过在连续情况下， 表示概率密度。,四离散无记忆信道DMC的错误概率上界,在0 R C的范围内，E (R )是下降的、下凹的正值函数，说明E (R )有界，这样，当 时， 有exp -nE (R ) 0，从而pe exp -n E (R ) 0。,64 费诺引理及信道编码逆定理,6.4.1 费诺不等式,设信道输入符号X和输出符号Y取自同一符号集A = a1, a2, , ak ，则传输过程中的错误概率pe和信道疑义度H (XY )之间满足下列关系式：
9、H (XY ) H2 (pe) + pe log (k-1) (6-18) 上式就是著名的Fano不等式。,将Fano不等式推广到L维矢量情况： 设x = x1, , xl, , xL , y = y1, , yl, , yL,皆为L维矢量， xl , yl A = a1, a2, , ak ， 记 pe为错误概率，则 H (XY ) L H2 (pe) + pe log (k-1) (6-24),Fano不等式的物理意义： 进行一次判决后，关于X的疑义度可分成两项：,(1) 是否判对，疑义度为H2 (pe),(2) 如果判决出错（概率为pe）,错在k-1个符号中的哪一个，疑义度不会超log
10、(k-1)。,6.4.2 信道编码逆定理,引理6.1 设u = u1, , ul , , uL为L维随机矢量，ul 取自同一符号集U，则 （6-25） 式中H(U) 表示L维熵，H(U )表示一维熵。,即： H2 (pe) + pe log (k -1) （6-32） 式中 为信息传输率。,定理6.2 信道编码逆定理 信道容量C是可靠通信系统信息传输率的上界，当R C，不可能存在任何方法使差错概率任意小。,本 章 小 结,信道输入码矢xk x1, x2, , xM ，通过信道转移概率为p(y xk)的信道传输，输出矢量y，信道译码器估值为 F(y)， x1, x2, , xM 。,最大后验概率译码准则 （ y） （xmy）,极大似然译码准则 p（y ） p（yxm）,平均译码错误概率,信道编码定理 对于任何离散无记忆信道DMC，存在信息传输率为R，长为n的码，当n 时，平均差错概率 pe exp- nE (R)0，式中E (R) 为可靠性函数，E ( R )在0 R C的范围内为正。,信道编码逆定理 信道容量C是可靠通信系统信息传输率的上界，当R C，不可能存在任何方法使差错概率任意小。,Fano不等式 H (XY ) H2 (pe) + pe log (k-1),
