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1、惯性导航原理,Inertial Navigation,惯性导航的基本思想,牛顿三定律是惯性导航的力学基础,第一定律,当物体未受外力,第二定律,第三定律,作用力与反作用力,任何运动体的运动状态都可以用加速度来表征,加速度、速度和航程之间的关系,加速度可以由加速度计测量,惯性导航：以加速度测量为基础的导航定位方法,这种不依赖外界信息，只靠对载体本身的惯性测量来完成导航任务的技术称作惯性导航,平面上的导航,在平面上的导航,对加速度计的输出信号进行计算，就可以实时计算出载体在坐标系中的位置和瞬时速度,平台在整个导航过程中，始终模拟平面坐标系 OXY 在工程上通过陀螺稳定平台来实现,地球形状,地球的形状
2、,几乎所有的导航问题都和地球发生联系。 地球表面形状是不规则的。,大地水准面：采用海平面作为基准，把“平静”的海平面延伸到全部陆地所形成的表面（重力场的等位面）。,最简单的工程近似：半径为 R 的球体,进一步的精确近似：旋转椭球体（参考椭球）,目前各国使用的几种参考椭球,扁率 =（长轴 - 短轴）/ 长轴,椭球的曲率半径（和纬度有关）,地球重力场特性,地球的重力是地心引力和地球自转产生的离心力的合力：,离心力比重力小得多，最多有几个角分,重力加速度 g 的巴罗氏算法（公式略）： 考虑地球为椭球体时，g 与纬度以及高度的关系。,地球垂线及纬度定义,纬度：地球表面某点的垂线方向和赤道平面的夹角,垂
3、线：,地心垂线地球表面一点和地心的连线 测地垂线地球椭球体表面一点的法线方向 重力垂线重力方向（又称天文垂线）,对应三种垂线定义，有三种纬度定义：,地球的运动,对应三种垂线定义，有三种纬度定义,1、地心纬度 2、测地纬度（大地纬度） 3、天文纬度 后两者偏差角一般很小，不超过 30 角秒，统称地理纬度。,地球的运动 地球相对惯性空间的运动是由多种运动形式组成，主要有：,地球绕自转轴的逐日旋转（自转） 相对太阳的旋转（公转） 进动和章动 极点的漂移 随银河系的一起运动 地球相对惯性空间的旋转角速度与地球相对太阳的旋转角速度（区别）。,坐标系-惯性坐标系,一、惯性坐标系,太阳中心惯性坐标系,地心惯
4、性坐标系,坐标系-确定载体位置的坐标系,确定载体相对地球位置的坐标系,地理坐标系（东北天坐标系）,地球坐标系（运动物体在该坐标系中的定位 、R）,坐标系-确定载体位置的坐标系,大圆弧坐标系（发射点、目标点、飞行器）,方向余弦 二维情形,方向余弦的物理意义,二维平面中，同一个矢量在两个坐标系OXY 和 OXY中的投影分别为,则,其中,方向余弦 三维情形,类似地，对于三维空间，仍有,只不过 V 和 V 都是三维矢量，或可写成,方向余弦矩阵 C 为正交矩阵，有时以表格形式给出,矩阵法推导方向余弦 转动描述,用矩阵法推导方向余弦表,设 OEN 为定坐标系，OX0Y0Z0 为动坐标系 起始时刻二者重合
5、经绕相应轴三次旋转后，动坐标系达到新位置 OXYZ 称三次转动角度、为欧拉角。 求取 OEN 和 OXYZ 之间的方向余弦矩阵。,矩阵法推导方向余弦 转动1,一、OX0Y0Z0 绕 轴转过 角。相应的方向余弦矩阵记为 C ,矩阵法推导方向余弦 转动2,二、OX1Y1Z1 绕 X1 轴转过 角。相应的方向余弦矩阵记为 C ,矩阵法推导方向余弦 转动3,三、OX2Y2Z2 绕 Y2轴转过 角。相应的方向余弦矩阵记为 C ,矩阵法推导方向余弦 合成,综合以上结果，可得, P12 (1-32),关于小角度近似,当角度、非常小时，经常采用如下假设：,则从上述 OEN到 OXYZ 的方向余弦矩阵 可近似为
6、：,四元数 表示,四元数：描述刚体角运动的数学工具 针对捷联惯性导航系统，弥补欧拉参数在设计现代控制系统时的不足。,四元数的表示,由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数,或者省略 1，写成,i, j, k 服从如下运算公式：,四元数 组成部分,i, j, k 服从如下运算公式,（教材有误）, 称作标量部分，,称作矢量部分,四元数的另一种表示法,P 泛指矢量部分,提示：四元数与刚体转动的关系,四元数基本性质 加减法,1四元数加减法,或简单表示为,四元数基本性质 乘法,2四元数乘法,或简单表示为, 关于相乘符号, 关于交换律和结合律,四元数基本性质 共轭 范数,3共轭四元数,仅向量部
7、分符号相反的两个四元数,和,互为共轭,可证明：,4四元数的范数,定义,则称为规范化四元数,四元数基本性质 逆 除法,5逆四元数,6四元数的除法,若,则,若,则,四元数表示转动 约定,一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，,转角为，,转轴 n 相对参考坐标系各轴之间的方向余弦值为cos、cos、cos。,则表示该旋转的四元数可以写为,为特征四元数 （范数为 1 ）,四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）,四元数表示转动 矢量旋转,如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后的矢量为 R，,则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现,含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转
8、，,转角和转轴由 q 决定,设固定坐标系单位矢量 i, j, k， 统一用符号 Ee 表示,单位矢量 Ee 经过 q 旋转后，得到一组新的单位矢量 Ee（以及对应的新坐标系），,两个坐标系的单位坐标矢量之间存在：,四元数表示转动 坐标系旋转,如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OXYZ,一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V,矢量 V 在新坐标系上 OXYZ 的投影为,则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：,式中,分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OXYZ 上的映像,四元数 映象图解,四元数表示转动 方向余弦,将该投影变换式展开，也就是把
9、,代入上述投影变换式,进行四元数乘法运算，整理运算结果可得,四元数表示转动 方向余弦,其中方向余弦矩阵,四元数表示转动 旋转合成,多次旋转的合成,对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果，,相应地有合成转动四元数,假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数,q 是合成转动的四元数，,那么有如下关系成立：,上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。,如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有,求方向余弦 非映象方式1,用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。,坐标系 OXYZ 相对OXYZ 三
10、次旋转，以欧拉角 、的形式给出。,第一转，绕 Z 轴转角，瞬时转轴 n 和 k 轴重合，则转动四元数为,第二转，绕 OX1 轴转角，瞬时转轴 n 的方向表示式为,其转动四元数为,求方向余弦 非映象方式2,求方向余弦 非映象方式合成,由于 q1 和 q2 的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数 q 的计算采用：,求方向余弦 映象方式1,以瞬时转轴映象形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数,第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的 q1 是一致的：,求方向余弦 映象方式2,第二转绕 OX1 轴转 角 瞬时转轴 n 是由 OX 经过第一转转换来的 OX 轴对应单位
11、矢量 i，所以定义 n 的映象为 i 则 q2 的映象表示式为,求方向余弦 映象方式3,第三转，绕 OZ 轴转动 角,瞬时转轴 n 是由 OZ 经过第一转和第二转转换来的 OZ 轴对应单位矢量 k，所以定义 n 的映象为 k 则 q3 的映象表示式为,求方向余弦 映象合成,由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动四元数 q 为,据此可算出对应的方向余弦表,四元数补充 两种转动公式,坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：,在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式,这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固定坐标系中，矢量
12、 VE 按着四元数 q 所表示的方向和大小转动了一个角度，得到一个新的矢量 VE,四元数补充 计算上的优点,四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：,式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，为动坐标系相对定坐标系旋转角速度的反对称矩阵：,包含 9 个一阶微分方程式，计算量比较大,四元数补充 计算上的优点,如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式,q 为动坐标系的转动四元数， 为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，也表示为四元数,按四元数乘积展开,只要解四个一阶微分方程
13、式组即可,本章小结及重点,1-1 惯性导航的概念 牛顿定律 加速度、速度和航程的关系 在平面上的导航 1-2 地球形状和重力场特性 地球形状 重力场特性 垂线及纬度定义 地球的运动,1-3 坐标系 惯性坐标系、地理坐标系、地球坐标系、大圆弧坐标系 1-4 用矩阵法推导方向余弦表 方向余弦的物理意义 用矩阵法推导方向余弦 小角度近似,本章小结及重点,1-5 用四元数表示坐标变换 四元数 四元数的基本性质 四元数表示转动的公式 方向余弦表的建立 小结,相关英文,In mathematics, the quaternions were first described by Sir William R
14、owan Hamilton of Ireland in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. At first, the quaternions were regarded as pathological, because they disobeyed the commutative law ab = ba. Although they have been superseded in most applications by vectors, they still find uses in both theoreti
15、cal and applied mathematics, in particular for calculations involving three-dimensional rotations. the quaternions are obtained by adding the elements i, j and k to the real numbers which satisfy i2 = j2 = k2 = ijk = -1 Addition of quaternions is accomplished by adding corresponding coefficients.,相关
16、英文,Unlike real or complex numbers, multiplication of quaternions is not commutative. The non-commutativity of multiplication has some unexpected consequences, among them that polynomial equations over the quaternions can have more distinct solutions than the degree of the polynomial. The equation z2 + 1 = 0, for instance, has the infinitely-many quaternion solutions z = bi + cj + dk with b2 + c2 + d2 = 1 Quaternio
