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1、第四篇 非完整系统动力学,东北大学理学院应用力学研究所 李永强,第八章 拉格朗日乘子法,东北大学理学院应用力学研究所 李永强,第3页,第八章 拉格朗日乘子法,8.1 Lagrange第一类方程 8.2 罗司(Routh)方程,第4页,8.1 Lagrange第一类方程,Lagrange第一类方程：应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的动力学普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。适用于完整系统。,1) Lagrange乘子法 函数u = f (M )，M(x1,x2,xn) 在用一组等式或不等式给出的约束条件下求极值，称为条件极值，令设约束条件为等式,Lagrange乘子法：引进m个拉格
2、朗日乘子；建立Lagrange函数,为求此n+m个变元的函数的无约束条件的极值，可由方程组,求出x1, x2 , , xn, 1, 2, ,m。,第5页,8.1 Lagrange第一类方程,2) Lagrange 第一类方程 质点系由n个质点组成，有d个完整约束，g个非完整约束，约束方程为,上述约束方程的变分(约束条件),必须满足动力学普遍方程,在3n个直角坐标的变分中xi ( i=1,2, ,3n)中，由于存在d+g个约束，因此独立的坐标变分数为3n-d-g个，至于系统中哪些是独立的坐标变分，则可以任意选择。,第6页,8.1 Lagrange第一类方程,完整与非完整约束可以写成统一形式：,对
3、于完整系统 ( =1,2, ,d )。,引入与约束个数相同的算子与约束方程相乘并求和，并与动力学普遍方程相加，得出,式中称为待定乘子或Lagrange待定乘子。这样就把全部约束加于虚位移的限制条件完全嵌入动力学的基本方程。 显然，上式中的xi是非独立的，如果选取d+g个待定乘子，使得上式中d+g个不独立的坐标变分前的系数等于零，从而剩下3n-d-g个独立的坐标变分。对于独立的坐标变分，其坐标变分前的系数亦应等于零。因此，可以得到3n个方程，即,第7页,8.1 Lagrange第一类方程,这就是Lagrange第一类方程,3 解法： 联合,共有3n+d+g个方程，可写出3n个坐标x1, x2 ,
4、 , x3n, d+g个乘子 。,Lagrange第一类方程既适用于完整系统，也适用于非完整系统。,第8页,8.1 Lagrange第一类方程,4 Lagrange乘子的物理意义 假设质点系仅受一个含时间的几何约束，,则Lagrange第一类方程写成,如上述约束所引起的对第 i 个质点的约束反力为Ni ，则由达朗伯原理，存在:,比较可得,由此可以看到约束力与Lagrange乘子的关系。由于系统的约束为理想约束，故在动力学普遍方程中不存在约束力，而在Lagrange第一类方程中约束力通过待定乘子被引入到方程中。 当对于实际问题需要计算约束力时，Lagrange第一类方程则开辟了用分析方法求解这类
5、问题的途径。,第9页,8.1 Lagrange第一类方程,例8-1 图示系统中，A为小球，可以视作质点，质量为m，OA为一长 l 、质量不计的直杆，BC为长 h 的软绳，O为球铰链，OB= b。平衡时，OA在水平位置而BC在铅垂位置。求小球A的运动微分方程。,解：小球具有一个自由度，设A的坐标为( x1, x2, x3)，则B的坐标为( bx1/l, bx2/l, bx3/l)，C的坐标为( b, h, 0)。约束方程为,系统为完整系统。,第10页,8.1 Lagrange第一类方程,小球A受到的主动力为重力，沿负x2轴方向，即有 F1 = F3 = 0，F2 = -mg 系统的完整约束的个数
6、 d = 2，,代入Lagrange第一类方程,可得,第11页,8.1 Lagrange第一类方程,例8-2 质量为m1的质点A，放在倾角为、质量为m2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面上滑动。不计摩擦，适用Lagrange第一类方程求质点和楔块的加速度以及它们所受的约束力。,解：系统的约束方程,则,主动力,第12页,8.1 Lagrange第一类方程,由Lagrange第一类方程,得,可解得:,则,约束力,第13页,8.1 Lagrange第一类方程,知识补充：求泛函的条件极值的Lagrange算子法,Lagrange 乘子法 构造辅助函数,其中为Lagrange乘子 。使满足上述条件泛
7、函极值问题化为无约束条件的极值问题,Euler方程为,由Euler方程边界条件及约束条件可求解及值,第14页,8.2 罗司(Routh)方程,Routh Eq要解决的问题 1）Lagrange 第一类方程是以直角坐标描述系统运动，各坐标为非独立；除了要考虑运动约束外还要考虑几何约束； 2）Routh Eq选用广义坐标，系统的参数减少，坐标独立，可不考虑几何约束，仅考虑运动约束，减少方程中变量数。,设系统中同时受到 d 个完整约束和 g 个非完整约束，系统的自由度数目 k=3n-d，确定系统位形的广义坐标为q1 , q2 , , qk。由于 k 个广义坐标是互相独立的，则 d 个完整约束已被削去
8、。用广义坐标表示的 g个非完整约束可写成,或对坐标进行变分，得,第15页,8.2 罗司(Routh)方程,利用Lagrange第二类方程的推导过程，由Hamilton原理出发，可知有如下关系成立,*,对于非完整系统，由于qj是非独立的，它由 g 个运动约束联系着，因此 k 个qj 中只有 k-g 个广义坐标的变分是独立的，这就是完整系统和非完整系统的本质差别。于是不能像完整系统那样，直接得到上式中括号内的表达式为零的结果，即对非完整系统,这也说明了Lagrange第二类方程只适用于完整系统，而不适用于非完整系统,第16页,8.2 罗司(Routh)方程,为了导出适用于非完整系统以广义坐标表示的
9、运动方程，可以采用乘子法的思想，将 g 个非完整约束分别乘以待定乘子( =1 , 2 , , g)后求和，并从t0t1积分，即,将上式与式*相加，得,上式 k 个广义坐标的变分qj中，只有 k-g 个是独立的，并且还有 g 个待定乘子。因此可以选取待定乘子，使不独立的 g 个qj前的系数为零。这样其余 k-g 个qj则为独立的，这就可以使得 k 个广义坐标的变分qj 任意取值了。可得,*,第17页,8.2 罗司(Routh)方程,这就是非完整系统的罗司(Routh)方程。,这个方程组中含有未知量q1 , q2 , , qk和1 , 2 , , g，共有 k+g个。这 k+g 个未知量可由下式联
10、合解出,第18页,8.2 罗司(Routh)方程,方程中 项的物理意义,如果解除所有的非完整约束而代之以约束力，这时系统的虚位移只受完整约束的限制，于是在任意虚位移中，非完整约束力将做功。 项表示在 而其他广义坐标的变分均为零时，由非完整约束所引起的系统对应于广义坐标 qj 的广义约束力。,对于一般情况的推广,对于更一般的情况，如果系统有 n 个质点组成，有d个完整约束和 g 个非完整约束，系统自由度为 k。k=3n-d-g，取 s (sk) 个广义坐标q1, q2, qs, 则,其中对于完整约束,第19页,8.2 罗司(Routh)方程,注意： 当选取了多余广义坐标后，在写系统的动能和势能或
11、计算广义力时，应把所有多余的（非独立的）坐标同独立的坐标一样看待。在建立运动方程的全过程中均不能利用约束方程从动能、势能或广义力中直接消除非独立的量，亦即在处理上同非完整约束一样。,第20页,8.2 罗司(Routh)方程,例8-3 两质点A、B有相同的质量m，由长为 l 的无重刚杆相连。在点A和点B处都装有小刀刃支承，使得两点的绝对速度矢必须始终与刚杆相垂直。设系统保持在光滑水平面上运动，且刚杆以匀角速度 转动，试确定系统的运动。,解：取杆的中点C的坐标( xC , yC )和作为确定系统位形的广义坐标，但由于= t，故系统的独立广义坐标只有( xC , yC )。考虑到小刀刃约束，C点的绝
12、对速度 vC 也必须与刚杆垂直，故约束方程,或,第21页,8.2 罗司(Routh)方程,该约束方程为不可积分约束，系统虚位移的限制条件为：,系统独立的广义坐标变分只有一个，系统为单自由度非完整系统。系统的动能为：,系统的势能为V=0。系统的Lagrange函数为：,由罗司(Routh)方程可得：,第22页,8.2 罗司(Routh)方程,设系统的初始条件为：,可得：,或,上式可写成：,由初始条件可得：,可见质心 C 做匀速运动。即 vC = v0，又因vCAB，故有,或写成可积形式:,第23页,8.2 罗司(Routh)方程,利用初始条件，经积分后可得:,则点 C 的轨迹方程为:,可见系统质心 C 作匀速圆周运动。,第24页,8.2 罗司(Routh)方程,例8-4 A、物块质量均为m，用一不可伸长的轻绳通过滑轮系住。各滑轮质量不计，A、C物块分别放在倾角为和的光滑斜面上，不能在铅垂方向运动。试求各物块的加速度。,解：系统为完整系统，具有两个自由度，选x1, x2, x3为广义坐标，设绳长为l，系统的约束方程为,系统的动能,取O点水平面为重力零势能面，系统的势能,第25页,8.2 罗司(Routh)方程,故Lagrange函数为,取待定乘子，而,由罗司(Routh)方程,得,第26页,8.2 罗司(Routh)方程,因为,则,就是绳的拉力（没有说明是那一段绳的拉力）,
