经济数学基础顾静相第一章函数

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1、经济数学基础,1.2 极限的概念,1.3 无穷小量与无穷大量,1.4 极限的运算法则,1.5两个重要极限,1.1 函数,1.7常用的经济函数,1.6函数的连续性,第一章 极限与连续,第一节 函 数,1、 函数的概念,定义1 : 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作,称D为该函数的定义域. 称x为自变量，称y为因变量.,关于该定义应注意:当函数的定义域和对应法则确定了以后,该函数便被唯一的确定了,因此称函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素.,例 判断下列各组函数是否相同,

2、(2) 相同. 因为它们的定义域均为全体实数相同, 且对应法则也相同,解：,2. 函数的定义域,函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取值的范围.,求函数的定义域时应注意 (1) 应考虑自变量与因变量有无实际意义; (2) 如果一个函数是若干项的代数和, 则分别求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义域; (3) 对于分段函数来说, 其定义域就是各区间的并集合;,例2 求下列函数的定义域,（1）,（3）,（5）,（2）,即定义域为,（4）,(5)陔函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为(3)，(4)两例中定义域的交集，,3、函数的表示法,例2 某工厂全年16月原材料

3、进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系,(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.,(2)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出,(3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y之间的关系.,分段函数：用几个式子来表示一个函数为分段函数. 如： 的定义域为: 的定义域为: 分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不是几个函数，对于自变量在定义域内的某个值，分段函数只能确定唯一的值，分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并。,例4 设函数,求 及函数的定义域,1.有界性 设函数 在 上有定义, 如果存在正数 ,使

4、得对于任意 ,都有 恒成立. 则称该函数在区间 上有界. 否则, 称该函数 在区间 上无界.,如函数 在区间 上有界, 因在该区间上恒有 成立; 在区间 上无界.而函数 在其定义域 R有界.,1.1.2 函数的几种特性,例1 判断下列函数的奇偶性,2 奇偶性:,（1）,（2）,（3）,解：由定义,3. 单调性,注: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.,而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图,y,y,x,x,o,o,例如 函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 而函数 在定义域 上均单调递增. 其图象如下:,单调递增,单调递减,单调性递增开始演示!,演示,单调

5、性递减开始演示,单调性演示结束!,注意: (1) 说函数递增还是递减时, 应明确指出在哪一个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同.如函数 (2) 当一个函数在其定义域 上均单调递增(或递减)时, 才称该函数为单调函数. 如 是单调函数.,证明: 在 内单调递增.,证,4. 周期性,设函数 在 上有定义, 如果存在常数 使得对于 中的任意 , 都有 则称该函数为周期函数, 且称 为该函数的周期.,如函数 均是周期函数, 其周期分别为,解 设所求的周期为T，由于,例,求函数 的周期，其中 为常数,使上式成立的最小正数为,所以函数 的周期为,并注意到 的周期为 ,只需,定义3 设函数y

6、=f(x)是定义在D上的一个函数，其值域为Zf ,对任意y Zf ,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x Df与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我们称它为函数y =f (x)的反函数，记作,5、 反函数,习惯上，常用x来表示自变量，y 表示因变量，所以我们可以将反函数改写成,在直角坐标系中的 图形与y=f(x)的图形是,关于直线y = x 对称的.,例 设函数y=4x1，求它的反函数并画出图形.,得到,于是得反函数,1.1.4基本初等函数,1.常函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,6.反三角函数,(几何图形),(几何图形),(几何图形),(几何图形),

7、(几何图形),(1)幂函数,( 是常数),当 为无理数时,规定 的定义域为,幂函数 的定义域随 的不同而不同.,指数函数 的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何的a , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点.,对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何限定的a， 的值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点.,(2)指数函数 是常数）,在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数.这里 e =2.718 2818 ， 是一个无理数.

8、,(4)三角函数,常用的三角函数有：,正弦函数 y=sin x;,余弦函数 y=cos x;,y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们都是以 为周期的函数，都是有界函数.,数，并且在开区间 内都是无界函数.,正切函数 y=tan x;,余切函数 y=cot x;,tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数.,此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中 .它们都是以 为周期的函,(5)反三角函数,三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函数都

9、是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,1.1.5 复合函数与初等函数,注1: 条件 非常重要, 只有满足了该条件后,两个函数才可复合, 否则就不是复合函数.,1、复合函数,注3: 将简单函数变为复合函数的过程称为复合过程, 而把复合函数变为简单函数的过程称为拆分过程.,复合时应从后往前逐个回代, 而拆分时应由外往内逐个拆开.,2 初等函数,定义 : 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.,初等函数都可以用一个公式表式,大部分分段函数不是初等函数,是

10、非初等函数,1、 数列的概念,定义1 自变量为正整数的函数,将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数,称为数列，将其简记为,称为数列的通项或一般项,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念,(2),(3),(1),即,数列,数列,2.数列的极 限,数列（1）当n无限增大时, un = 无限趋近于常数1, 即数列（1）以1为它的变化趋向；,数列（2），当n无限增大时， 其奇数项为1，偶 数项为-1，随着n 的增大，它的通项在-1,+1之间变动， 所以当n 无限增大时，没有确定的变化趋向；,数列（3）当n 无限增大时，un也无限增大,定义2 如果当n无限地增大时，通项un无限地趋向于某个确定的常

11、数A，则说当n趋于无穷大时，un 以A为极限，记成,但是，像数列 等,当n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？,直观上可以看出,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.,3.单调数列与有界数列,数列(2) (4)是单调增加的，数列(1)单调减少的.,1 .当x时,函数f (x)的极限,函数,当x+时,函数 f (x) 无限趋近于常 数1，此时我们称1为当x+时函 数f (x)的极限.,定义3 如果当自变量x无限增大时，函数f (x)无限趋近 于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+时 的极限，记为,或,1.2.2 函数的极限,-1,1,对于数列 ，若存在正

12、数M，使得对于一切的n都有,成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.,容易验证数列(1)(2)(3)是有界的；而数列(4)是无界的.,无界数列一定是发散的.,注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.,例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.,定理1 单调有界数列必有极限,当x-时,函数 f (x) 无限趋近于常数1， 此时我们称1为当x-时函数f (x)的极限.,定义4 如果当 无限增大时，函数f (x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x时的极限，记为,(x),或,定理2,的充要条件是,例1 求,例2 求,解:当,时，,即得,正在演示,的变化趋势,正在演

13、示,的变化趋势,正在演示,的变化趋势,演示结束,当 时,演示暂停请稍候,的变化趋势,开始演示,时的变化趋势,正在演示,的变化趋势,正在演示,的变化趋势,正在演示,的变化趋势,演示结束,当 时有,的变化趋势,如,注意两点,(1) 意思是 无限靠近于 ,但 , 因此 点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系.,称 时函数 的极限为左极限, 记作,(2),称 时函数 的极限为右极限,记作,注: 定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,，,，,1.无穷小量 定义: 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.,1.2.3 无穷小量与无穷大量,例1,例2,时的无穷小量.,时的无穷小量.,因为 所以,因为 所以,几点注意事项:,(1)一般说一个变量是无穷小量, 必须指出其变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势,即不同的极限值.,(2)由于无论在什么样的变化过程中, 数 0 的极限永远为零, 所以它是无穷小量, 且只有它可以不指出变化过程.,(3)不能把无穷小量理解为是很小的数, 关键是要看其极限是否为零.,例如函数 时的无穷小，但当 时不是无穷小。,当 时， 的极限不为零，所以当 时，函数 不是无穷小，而当 时 是无穷小量。