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1、5.7 三角函数的应用,三角函数,一,二,一、三角函数的应用 1.简谐运动,一,二,(2)填空 在y=Asin(x+),x0,+)(A0,0)中,各参数的物理意义.,一,二,答案:B,一,二,2.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样的例子吗? 提示:物理中的匀速圆周运动、简谐振动、交变电流、海洋潮汐和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象. 3.填空 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.,一,二,二、应用三角函数模型解决问题的一般程序 1.填空 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问
2、题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下: (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.,一,二,2.做一做 如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从024时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,三角函数模型在日常生活中的应用 例1心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和
3、舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160t,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. 分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,探究一,探究二
4、,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟 在日常生活中呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(x+)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练1某地昆虫种群数量在七月份113日的变化如图所示,且满足y=Asin(t+)+b(0,0). (1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,三角函数模型在物理中的应用 例2已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(t+)(A0
5、,0). (1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(t+)的解析式; (2)为了使 秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A,则正整数的最小值是多少?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,分析:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,可由周期确定,可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟 三角函数在物理中的应用
6、 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为 (1)作出函数的图象; (2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (4)单摆来回摆动一次需多长时间?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,数据拟合三角函数模型问题 例3已知某海滨浴场海
7、浪的高度y(单位:米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据. (1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 分析:作出散点图判断形状构建模型求参数,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acos t+b,并且周期T=12,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,(2)由题知,当y1时才
8、可对冲浪爱好者开放, 即12k-3t12k+3(kZ). 0t24,故可令中k分别为0,1,2, 得0t3或9t15或21t24. 在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟 处理数据拟合和预测问题的几个步骤: (1)根据原始数据,绘出散点图; (2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线; (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式; (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.,探究一,探究二
9、,探究三,思维辨析,随堂演练,延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于 米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,不能正确理解简谐运动的过程致误 典例 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小. 错解(1)因为B,C相距20 cm, 所以振幅A=2
10、0 cm. 因为从点B经0.5 s振子首次达到点C, (2)5 s内的路程=位移=5A=520=100 cm.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示:振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,说明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20 cm,即振幅的2倍等于20 cm;振子从点B经0.5秒首次到达点C,再返回点B才是一个周期,因此,应有 =0.5 s;路程与位移有区别,路程只有大小,位移不仅有大小,还有方向.错解中由于对周期的概念理解不清导致周期求错,另外,混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误.,探究一
11、,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,正解:(1)设振幅为A, 则2A=20 cm,A=10 cm. 设周期为T,则 =0.5 s,T=1 s,f=1 Hz. (2)振子在1T内通过的距离为4A, 故在t=5 s=5T内通过的路程 s=54A=20A=2010 cm=200 cm=2 m. 5 s末物体处在点B,所以它相对平衡位置的位移大小为10 cm. 防范措施 对于简谐振动,要结合物理中所学的知识加强对相关概念以及解析式y=Asin(x+)中参数意义的理解,弄清它们之间的区别与联系,以便正确求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂
12、演练,2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( ) A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定 解析:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,3.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( ) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零 解析:由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,5.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是 ,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推. (1)问哪一天白昼最长?哪一天最短? (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,
