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1、5.1.1 量纲的概念,5 量纲分析和相似原理,5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理,量纲（因次）：物理量的属性（或称类别）。,例如 长度的物理属性是线性几何量，量度单位有米、厘米、英尺、光年等。,量度单位是人为规定的量度标准，量纲（因次）是物理量的实质，不含有人为的影响。,速度 加速度 力 动力粘度,基本量纲：无任何联系且相互独立的量纲。国际单位制中，规定了七个物理量作为“基本量”。,长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度。,导出量纲：由基本量纲导出的量纲。例如：,一般地，普遍采用M-L-T-基本量纲系，对于不可压缩流体运动，则选取M-L-T3个基本量纲，其它物理量的量纲可以
2、表示为：,此式称为量纲公式。物理量q的性质由量纲指数、决定：当=0、0、=0,q为几何量；当=0、0、0,q为运动学量；当0、0、0,q为动力学量。,5.1.2 无量纲量,当量纲公式中=0、=0、=0时, 物理量q为无量纲量。,如 雷诺准数,无量纲量的特点：,客观性,不受运动规模的影响,可进行超越函数运算,5.1.3 量纲和谐原理,量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的。,如粘性流体总流的柏努利方程,式中各项的量纲均为L。,工程上某些经验公式不满足量纲和谐原理，表明这些公式需要随认识的提高而逐渐被修正。,1）凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无量纲量组成
3、的无量纲方程。,推论：,2）量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物理量之间的关系。因为一个正确完整的物理方程中，各物理量量纲之间的关系是确定的，按这一确定关系，可以建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根据这一原理发展起来的。,5.2.1 瑞利法,5.2 量纲分析法,瑞利（Rayleigh，1899年）法基本原理是某一物理过程同几个物理量有关,其中某一物理量可表示为其它物理量的指数积,写出量纲式,根据量纲和谐原理，确定指数a，b，p，得出表达该物理过程的方程式。,例 求水泵输出功率的表达式。,解 水泵输出功率指单位时间内水泵输出的能量。,与水泵输出功率有关的物理量：单位体积水的重量=g
4、，流量Q，扬程H，即,写出指数积关系式,写出量纲式,以基本量纲（M，L，T）表示各物理量量纲,根据量纲和谐原理求量纲指数,M: 1=a L: 2=-2a+3b+c T: -3=-2a-b,得：a=1，b=1，c=1,整理方程式：,例 求圆管层流的流量关系式。,解 影响圆管层流流量的物理量：管段两端压强差p，管段长l，半径r0，流体粘度。根据经验，流量与压强差成正比，与管长成反比，将p与l合并为一项p/l ，得到,写出指数积关系式,写出量纲式,以基本量纲（M，L，T）表示各物理量量纲,根据量纲和谐原理求量纲指数,M: 0=a+c L: 3=-2a+b-c T: -1=-2a-c,得：a=1，b=
5、4，c=-1,整理方程式：,系数K由实验确定，K=/8,其中：,在有关物理量不超过4个，待求的量纲指数不超过3个时，可根据量纲和谐条件求出各指数，建立方程式（第一例）。在有关物理量超过4个时，需合并有关物理量（第二例）。,5.2.2 定理（布金汉定理，Bucking ham）,由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物理过程包含n个物理量，即,其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出），则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲,项所表达的关系式来描述，即,由于无量纲项用表示，因此叫作定理。,定理的应用步骤：,1）找出物理过程有关的物理量,2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩
6、流体运动，一般取m=3，设所选基本量为q1，q2，q3，由量纲公式,满足基本量纲独立的条件是量纲式中指数行列式不等于零，即,对于不可压缩流体，通常选取速度v(q1)、密度(q2)、特征长度l(q3)为基本量。,3) 基本量依次与其余物理量组成项,4) 满足为无量纲项，求出各项基本量的指数a，b，c。,5) 整理方程式。,例 求有压管流压强损失表达式。,解 1)找出有关物理量，压强损失与流体的性质（密度、运动粘度）、管道条件（管长l、直径d、壁面粗糙度ks）以及流动情况（流速v）有关，有关量数n=7。,2)选基本量，选流速v、密度、管径d为基本量，基本量数m=3。,3)组成项，数为n-m=4。,
7、4)确定各项基本量指数。,M: 1=c1 L: -1=a1+b1-3c1 T: -2=-a1,得：a1=2，b1=0，c1=1,M: 0=c2 L: 2=a2+b2-3c2 T: -1=-a2,得：a2=1，b2=1，c2=0,不需要对量纲逐个分析，直接由无量纲条件得出,a3=0，b3=1，c3=0,不需要对量纲逐个分析，直接由无量纲条件得出,a4=0，b4=1，c4=0,5)整理方程式,p与管长l成比例，将l/d移至函数式外面,此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。,5.2.3 量纲分析方法的讨论,1)量纲分析方法的基础是量纲和谐原理。,2)量纲
8、和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。,3)应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律和所选的物理量是否正确有关。研究者要依靠理论分析和实验成果以及对流动现象的认识正确选取物理量。,4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之间的桥梁。,5.3.1 相似概念,5.3 相似理论基础,几何相似：两个流动流场（原型和模型）的几何形状相似，即相应的线段长度成比例、夹角相等。,以p表示原型 (prototype) ，m表示模型 (model) ，有,运动相似：两个流动相应点速度方向相同，大小成比例。即,称为长度比尺。由此可以推得面积比尺和体积比尺。,面积比尺,体积比尺,几何相似是通过长度比尺来表征的。,称
9、为速度比尺。由于相应点速度成比例，相应断面平均流速也有相同的比尺。,将关系式 代入得,称为时间比尺。,运动相似应有固定的长度比尺和时间比尺。,速度相似意味着加速度相似，加速度比尺为,动力相似：两个流动相应点处受同名力作用，力的方向相同、大小成比例。,根据达朗伯原理，运动质点所受作用力的合力与假想加上的惯性力平衡，构成封闭力多边形。因此，动力相似可相应表示为相应点上的力多边形相似（如前图）。,影响流体运动的作用力主要是粘滞力、重力、压力，有时还有其它力，分别以T、G、P和I表示粘滞力、重力、压力和惯性力，有,比尺,边界条件和初始条件相似：边界条件相似指两个流动边界性质相同，如原型中的固体壁面处，
10、模型中相应处也为固体壁面，原型中的自由液面处，模型中相应处也为自由液面。对于非恒定流，还要满足初始条件相似。,边界条件相似可以归入几何相似，对于恒定流，无需初始条件相似，这样，流体力学相似可以简化为几何相似、运动相似和动力相似三方面。,5.3.2 相似准则,实现原型流动和模型流动相似的条件：,首先要满足几何相似，否则两个流动不存在对应点，几何相似是力学相似的前提。,其次是满足动力相似，要想实现动力相似，前面定义的各种比尺必须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准则。,1）雷诺准则,由式,得,鉴于上式表示的是两对应点上惯性力与粘滞力的比例关系，不是计算力的绝对量，所以,式中的力可以用特征量表
11、示：,粘滞力：,惯性力：,代入前式，得,即,无量纲数 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动的雷诺准数相等，粘滞力相似。,2）弗劳德准则,由式,得,将重力 ，惯性力 代入上式，整理得,开方,即,无量纲数 称为弗劳德数(Froude number)，表示惯性力与重力之比。两流动的弗劳德数相等，重力相似。,3）欧拉准则,由式,得,将压力 ，惯性力 代入上式，整理得,即,无量纲数 称为欧拉数(Euler number)，表示压力与惯性力之比。两流动的欧拉数相等，压力相似。,一般地，对流动起作用的是压强差，而不是压强的绝对值，欧拉数中常以相应点的压强差代替压强，
12、得,4）柯西准则,当流动受弹性力作用时,由式,得,将弹性力 ，惯性力 代入上式，整理得,即,无量纲数 称为柯西数(Cauchy number)，表示惯性力与弹性力之比。两流动的柯西数相等，弹性力相似。柯西准则用于水击现象的研究。,声音在流体中的传播速度（音速） ，代入式,开方得,即,无量纲数 称为马赫数(Maeh number)，可压缩气流流速接近或超过音速时，弹性力成为,影响流动的主要因素，实现流动相似需要马赫数相等。,如前所述，两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。若决定流动的作用力是粘滞力、重力和压力，则只要其中两个同名力和惯性力成比例，另一个力也将成比例。一般地压力是待求量，只要
13、粘滞力和重力相似，压力也将相似，即当雷诺准则、弗劳德准则成立，欧拉准则自行成立。因此，将雷诺准则、弗劳德准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。,流体运动是边界条件和作用力决定的，若两流动实现了几何相似和动力相似，运动规律必然相同。即几何相似和独立准则成立是实现流体力学相似的充分和必要条件。,5.4 相似定理,相似定理是相似原理的核心内容，也是模型实验研究的主要理论基础。它可以告诉我们在进行模型实验研究时，应当解决的下列几个问题： 1）实验研究应当测量哪些参量? 2）如何做到模型现象与原型现象相似? 3）如何对测量的结果进行数据的整理和加工? 4）模型实验的结果怎样推广应用?,5.4.1 相似
14、正定理,相似第一定理，或相似性质定理：彼此相似的现象，其相似准数的数值必定相等。,彼此相似的现象具有以下性质：,1)相似的现象都属于同一类现象，它们都可以用文字上与形式上完全相同的完整方程组来描述。,2)用来表征这些相似现象的一切对应物理量的场相似，即各对应物理量在对应的空间部位和对应时刻都各自对应成比例。,3)相似的现象必定发生在几何相似的空间中，所以几何的边界条件必定相似。,4)由性质1)和性质2)可知，表示现象特征的各物理量的比尺之间并不是互不相关的，而是相互联系并为某一种规律彼此相约束的。它们之间的约束关系表现为由某些比尺所组成的相似指标数(简称相似指标)等于1。,例 设有一流体质点沿
15、x轴作直线运动，其运动方程为u=dx/dt，另一流体质点的运动与上面的流体质点的运动相似，则根据相似性质1)，其运动方程为u=dx/dt,表示两质点运动的物理量分别为u、x、t和u、x、t。,根据相似性质2)，第二个流动现象的物理量与第一个流动现象的物理量在对应的空间点和对应的时刻上各自对应成比例关系，即,或,代入第二质点的运动方程得,与第一个质点的运动方程进行比较，显然，只有各比尺之间的关系符合,两个流体质点的运动方程才完全相同。这就是相似性质4)所说明的各物理参量的比尺之间的约束关系。这种约束关系常用C表示，即,C称为相似指标数，或简称相似指标。它是由描述现象的一些物理量的比尺所组成。,相
16、似指标式通常还可以写成另一种形式：,即,式中的 都是无因次综合量，即相似准数。其物理意义为：对于彼此相似的流体质点的运动，它们在空间的对应点及时间的对应时刻，由u、x、t所组成相似准数,称为斯特罗哈准数，用St表示，通常写作,的数值是相等的。,斯特罗哈准数St体现的是运动流体所受到的迁移惯性力与当地惯性力之间的比值关系。,从上述对相似性质的分析中，可以得出相似第一定理的结论：“彼此相似的现象，其相似准数的数值相等”。 这一定理回答了实验研究中的第一个问题，即在实验中需要测定哪些物理量。它指出，所要测定的物理量乃是包含在各有关准数中的物理量。,5.4.2 相似逆定理,相似第二定理，或相似判定定理：凡是同一种类的现象，若单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等，则这些现象就必定相似。,要使模型中的现象与原型中的现象相似，就
