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1、小学奥数专题,第一讲 三阶幻方,1,2,4,3,6,5,7,9,8,赵老师教你学奥数,一、三阶幻方的定义 有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展,许多人对幻方做了进一步的研究,创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代,洛水中出现过一只神龟,背上有图有文,后人称它为“洛书”。 洛书所表示的幻方是在33的方格子里(即三行三列),按一定的要求填上19这九个数,使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等,这样的33的数阵阵列称为三阶幻方,又称九宫算。 一般地说,在nn(n行n列)的
2、方格里,既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数(一般从1开始,也可不从1开始)每个数占一格,并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等,这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和,n叫做阶. .,二、三阶幻方的解法 杨辉在续古摘奇算法中,总结洛书幻方构造方法时写到:“九子排列,上下、左右相更,四维挺出.” 添耳法解三阶幻方: 例:用19这九个数完成下图中的三阶幻方。,1,2,4,3,6,5,7,9,8,1,2,4,3,6,5,7,9,8,完成效果图,填数方向及移动方法,八个方向,故有八种填法,三、三阶幻方的规律,1、幻和=中间数3 2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两
3、数的和 2 M= (A+F)2 =(D+C)2 =(H+E)2 =(G+B)2 3、A=(B+C)2 E=(B+D)2 F=(G+D)2 H=(C+G)2,C,A,H,B,E,M,G,D,F,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,9,8,四、反三阶幻方及解法,反三阶幻方是在33的方格子里(即三行三列),按一定的要求填上九个数,使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等,这样的33的数阵阵列称为反三阶幻方,方案一,方案二,2、将 这九 个数分别填入图1中,使每一横行,每一竖行,两条对角线中三个数的和都相等。,五、练习,1、在图1中33的阵列里,第一行第三列的位置上填5,第二行第一列的位置上填6,请你在其它方格中填上适当的数,使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。,图1,5,6,3、写出一个三阶幻方,使其幻和为24,4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图,构造三阶幻方。,5、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39这九个数填入下图,构造反三阶幻方。,6、 用19这九个数补全图1中的幻方,并求幻和。,7、 用311这九个数补全图2中的幻方,并求幻和。,8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。,图3,