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1、第14章 梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介,在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组合变形问题进行分析。,如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太小，则纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线性的，这类问题称为纵横弯曲。,14.1 梁的纵横弯曲,受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。,1. 轴向压力与横向载荷联合作用的梁,记,通解分别为,由两端挠度为零的边界条件，可以求出,由C截面的连续条件,对于
2、集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，,记, 放大系数,例14-1 试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支梁的变形，并计算最大弯矩。,解：,通解为,由两端挠度为零的边界条件，可求出,同前，记,，则,例14-2 图示简支梁受轴向压力并在一端有集中力偶作用，试分析其变形。,解：,通解为,利用两端挠度为零的边界条件求得,于是,放大系数,利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷 共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁 问题。,利用上两例结果，有,由,，得,2. 轴向拉力与横向载荷联合作用的梁,受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为系杆或系梁 。,与受轴向压力的情况解法类似，可得,在梁柱问题
3、中以- P代替P，以ki代替k，以ui代替u，并利用下列 关系：,就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。,例14-3 试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠度和两端转角。,解：,利用例14-1的结果，得,14.2 弹性基础上的无限长梁,具有密集或连续弹性支撑特点的梁 ，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。,弹性基础梁 ,假设：梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠 度成正比。,（德国科学家E.Wenkler于1867年提出。）,1. 微分方程及其通解,基础支反力,弹性基础系数，量刚为力/长度2,挠度,引进记号,对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程,其通解为,A、B、C、D为积分
4、常数，由边界条件确定。,(14-31),2. 无限长梁,（1）受集中载荷作用的无限长梁,依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。,(14-35),为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数,(14-37),(14-36),（2）受集中力偶作用的无限长梁,依挠度的反对称性， 仅研究原点右侧的一 半即可。,对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶 作用的两种结果，应用叠加原理求解。,例14-4 如图示，集度为q、分布长度为l 的均布载荷作用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。,解：,例14-5 弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的集中力作用，如图示。梁为20b工字钢，已知E
5、=40MPa，I=2500cm4，W=250cm3，基础系数k=30MPa 。若集中力P=100kN，试求B截面的变形、内力及最大应力。,解：,以B点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下表,根据(14-37)式和叠加原理，并考虑到C、D处载荷在B截面右侧， 其产生的转角与剪力应改变符号，于是得,B截面的最大弯曲正应力为,从B截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有B点的集中力 影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。,3. 半无限长梁,仍然利用通解(14-31)式,积分常数A和B可由梁左端的静力边界条件求出，即,采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成,(14-44),利用(
6、14-44)式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂 的问题。,例14-6 在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长梁，梁的左端固定，如图所示。试求固定端反力和任意一点的挠度 。,解：,根据(14-44)式之第一式并应用叠加原理，,由边界条件,例14-7 半无限长梁上作用一集中力P，P距左端的长度为a，如图示。试求梁的挠度表示式 。,解：,+,=,(14-37),(14-37),(14-44),14.3 弹性基础上的有限长梁,1.克雷洛夫函数,克雷洛夫函数,(14-49),2. 用初参数表示的齐次微分方程的通解,初参数,(14-53),3. 用初参数法解有限长梁,(1)受集中力作用的有限
7、长梁, 集中力P产生的附加挠度,(14-54),也应满足相同的齐次微分方程，故,(14-57),(2)受集中力偶作用的有限长梁,(14-60),(3)受分布载荷作用的有限长梁,挠度表达式为(14-53)式；,：,：,：,可将三段挠度统一表示成,(14-63),(14-65),例14-8 弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试求梁的弯矩方程和剪力方程。,解：,，代入式（14-53），有,将(14-67)式代回(14-66)式即得梁的弯矩方程和剪力方程。,(14-67),(14-66),例14-9 例14-8中，设梁长l=2m，抗弯刚度 EI=30MPa，弹性地基系数k=8MPa，P=30kN。
8、试求解梁的剪力和弯矩。,解：,代入(14-67)式，求得,代入(14-66)式，求得,例14-10 弹性基础上的有限长梁的中点有一集中力作用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。,解：,代入(14-53)式，有,由(14-49),讨论：,即梁的抗弯刚度EI很大或梁很短因而l很小时，梁好像刚体 一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为P/lk，相当于集度为P/l的 均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为短梁。,（1）当 时，,；当 时，,（2）当 时，,对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式(14-35)）,不难看出，按有限长梁与无限长梁计算的最大挠度和最大弯矩 分别仅相差 4.4% 和 0.9%。在这种情况下，按无限长梁计算的 结果是可以满足工程要求的(误差5%)。,根据以上讨论的结果，按照l的值，对弹性基础梁可以这样 划分：,有限长梁：,无限长梁：,短梁：,
