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1、1,多目标评估方法,AHP方法及其应用,层次分析法 (Analytics Hierarchy Process, AHP),1、简介,层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。,2、基本模型单层次模型,（1） 单层次模型结构 C目标 Ai隶属C的n个评价

2、元素 决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。,2、基本模型单层次模型,（2） 思想： 整体判断 n个元素的两两比较。 定性判断 定量表示（通过标量） 通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重,2、基本模型单层次模型,（3）计算步骤 i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层 次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验,（3）计算步骤,i. 判断矩阵 标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得,（3）计算步骤,例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij5 这样由决策者的定性判断转换为

3、定量表示，这是AHP的特点之一。 判断矩阵中的元素具有下述性质,（3）计算步骤,ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根max和其对应的经归一化后的特征向量W= (w1, w2, ,wn) T 由此得到的特征向量W= (w1, w2, ,wn) T 就作为对应评价单元的权重向量。 max和W的计算一般采用幂法、和法和方根法,方根法,计算Mi 的n次方根,（3）计算步骤,归一化,（3）计算步骤,（3）计算步骤,iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验 在单层次判断矩阵A中，当 时，称判断矩阵为一致性矩阵。 进行一致性检验的步骤如下： （a）计算一致性指标C.I.： ，式中n为判断矩阵阶数。

4、（b）计算平均随机一致性指标R.I. R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出115维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标： （c）计算一致性比例C.R.： C.R. C.I./ R.I. 当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。,问题提出,AHP方法计算原理,问题 为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量 可以作为评价单元A1, A2, ,An的权重向量？,设想 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重量分别记为：w1,w2,wn,AHP方法计算原理,解释 假设事先已知这n个评价单元的权重向量为 比较Ai与Aj重要性时，标量a

5、ij=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵 是完全精确的判断矩阵,AHP方法计算原理,满足 W是 的最大特征值的向量,AHP方法计算原理,实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近似的比值aij aijwi/wj 得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A 精确判断矩阵 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, ,wn) T 是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量 W= (w1, w2, ,wn) T 可以作为近似的权重向量,特征向量法排序原理2,对于目标，Bi的重要性由Bj(j=1,n)综合体现所以由ai1,ain的加权平均值作

6、为因素Bi在总体性能指标中的综合分值，即 称Y=(y1,y2,yn)T为某个因素的分值向量 显然，分值yi的大小反映因素Bi在总体性能指标中的重要程度，所以y也是反映各因素占总体性能指标重要程度的向量，亦相对总体性能指标而言，y也是各因素的一个排序向量既然向量W与Y都是各因素对总体性能指标的排序向量，所以二者应成正比例关系。 即存在正常数，使Y= W 显然AW= W,由 知即为max,在某个准则下,为了对n个方案进行排序,分析者建立了判断矩阵A,其元素aij的值是对于比值ui/uj的估计或判断,ui,uj是真实排序向量u的元素。如果判断无误差,则aij=ui/uj。由于aij=1/aji我们称

7、数对(aij,aji)为一个判断。全部独立的判断共有n(n-1)/2个。判断误差可以采用多种方式来刻画。我们用 表示判断数对的（aij,aji）的误差。 矩阵A所确定的排序向量W是真实排序向量的一个估计，则判断误差的估计值为：,一致性检验数值含义,平均误差为：,C.I.,一致性检验数值含义,一致性检验数值含义,3、多层次分析法基本步骤,建立递阶层次结构,1,计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型）,2,计算各层次上元素的组合权重（层次总排序）,3,评价层次总排序计算结果的一致性,4,AHP分析问题的步骤,目标层 准则层、指标层、。 方案层。,（1）递阶层次结构,（3）计算各元素的总权重,（4

8、）评价层次总排序计算结果的一致性,设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。 其计算公式为： CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 当 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。,4、应用案例,某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。,（1）层次结构图,（2）计算单一准则下元素的相对重要

9、性,i. 第二层相对于第一层的判断矩阵 通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为： W=(0.105,0.637,0.258) max=3.038 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R. C.I.=0.019 C.R.=0.0330.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。,（2）计算单一准则下元素的相对重要性,ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵,（2）计算单一准则下元素的相对重要性,（3）计算各元素的总权重,（4）结论,发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备 W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172) C.I.=0.028 R.I.=0.9

10、23 CR=0.030.10 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校是首选的方案。,一问题提出,2013年4月25日，国家体育总局排球运动管理中心召开媒体见面会，宣布郎平正式出任新一届中国女排主教练。排管中心对郎平执教的要求是，中国女排要在2016年里约奥运会上拿到奖牌。,一问题提出,一问题提出,对于中国女排未来的走向，郎平表示不能着急，只能一点点靠近目标。排管中心主任潘志琛也清楚，虽说给郎平布置了奥运会任务，但他强调，尽管郎平的到来有利于中国女排 发展的方向和目标，“但现在竞技 体育不是一个人能做成的，而是 一个团队做的。郎平来了，不是 说她能包打天下，她也不是救 世主她所需要的

11、是团队的 支撑。”,AHP,如何选择国家队队员？,我们认为，主教练在进行队员选拔的时一定要按科学的原则进行，而非靠个人偏好决定取舍。这样才能把最优秀的队员选拔到国家队。,一问题提出,一问题提出,从管理的角度来看，选择上场队员的问题实质是一个综合评估问题。 科学评估有三要素：评估者、评估指标体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应该按照这三个准则进行：一是确定科学的评估者（教练组），二是要建立一套合理的评价指标体系，三是选用 科学有效的方法进 行评估。,二模拟算例,我们通过一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选拔。确定下届奥运会1-2名留队的副攻队员。 评估对象：我们选择四位现役国家队副攻队

12、员，王宁、徐云丽、颜妮、杨珺箐。 模拟评估小组研究生球迷小组。 评价指标讨论提出下列四个指 标：身体条件、大赛经验 力、训练水平、场上作风。 具体评价模型和评价过程如下：,1.构造各因素之间的层次结构模型,上场队员,目标层A,指标层B,身体条件B1,大赛经验B2,训练水平B3,场上作风B4,方案层C,王宁C1,徐云丽C2,颜妮C3,杨珺箐C4,2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵,下面是某位排球专家给各层次上对象的打分情况 ：,3.层次单排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： 层次单排序： (身体,经验,训练,作风) 特征向量 W = (0.520,0.201,0.201,0.078) 特

13、征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R. C.I. = 0.014 C.R. = 0.016 C.R. 0.1，通过一致性检验,B4,A,C4,B1,B2,B3,C1,C2,C3,4.构造第三层相对第二层的各个指标的判断矩阵 身体条件上的得分,4.2 B1-C上的单排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： B1-C上的权值：(宁宁，丽丽，妮妮，菁菁) 特征向量 W = (0.571,0.056,0.241,0.132) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R. C.I. = 0.026 C.R. = 0.029 C.R. 0.1，通过一致性检验,4.3各

14、位被选队员在指标大赛经验上的得分,4.4 B2-C上的单排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： B2-C上的权值：(宁宁，丽丽，妮妮，菁菁) 特征向量 W = (0.059,0.537,0.083,0.321) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计 算C.I. 和C.R. C.I. = 0.025 C.R. = 0.028 C.R. 0.1，通过一致性检验,B4,A,C4,B1,B2,B3,C1,C2,C3,4.5各位被选队员在指标训练水平上的得分,4.6 B3-C上的单排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： B3-C上的权值：(宁宁，丽丽，妮妮，菁菁) 特征向量 W = (0.08

15、1,0.579,0.282,0.057) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算 C.I. 和C.R. C.I. = 0.045 C.R. = 0.050 C.R. 0.1，通过一致性检验,B4,A,C4,B1,B2,B3,C1,C2,C3,4.7各位被选队员在指标场上作风的得分,4.8 B4-C上的单排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： B4-C上的权值：(宁宁，丽丽，妮妮，菁菁) 特征向量 W = (0.241,0.056,0.132,0.571) 特征值 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R. C.I. = 0.026 C.R. = 0.029 C.R. 0.1，通过一致性检验,B4,A,C4,B1,B2,B3,C1,C2,C3,4.9第三层相对于第一层的权重 通过第二层相对于第一层和第三层相对于第二层的权重组合得到：,5.层次总排序和一致性检验,通过计算，可得如下结果： A-C层次上的权值：(宁宁，丽丽，妮妮，菁菁) 特征向量 W = (0.344,0.258,0.209,0.189) 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R. C.I. =