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1、,第三篇 动力学,第三篇 动力学,返回,在静力学中，我们研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运动学中，我们仅从几何的角度研究物体的运动规律，而未涉及物体运动变化的原因。在动力学中，我们将研究物体运动的变化与其质量、作用于其上的力之间的关系。可见动力学是理论力学的主体,静力学只是动力学的特殊情况,运动学是为动力学作必要的准备。 动力学是在生产实践过程中形成和发展的，随着现代工业和科学技术的发展，在机械、水利、建筑、采矿、化工、航空航天等工程实际中，都需要应用动力学的基本理论。在土木工程中要解决动力基础的隔振与减振，桥梁和水坝在动荷载作用下的振动及抗震，高层建筑中出现的新问题等更离不开动力学的理论
2、。我们在动力学部分着重介绍质点及刚体的运动微分方程、动能定理、达朗贝尔原理等三部分内容，为专业课的学习和今后的工作打好必要的理论基础。,第七章 质点与刚体的运动微分方程,第七章 质点与刚体的运动微分方程,7.1 质点运动微分方程,7.2 刚体定轴转动微分方程,返回,7.3 转动惯量及其计算,本章在介绍动力学基本方程的基础上，给出质点及刚体平动、定轴转动、平面运动的运动微分方程，并应用它们求解质点和刚体动力学的两类基本问题。,7.4 刚体平面运动微分方程,目录,7.1 质点运动微分方程,7.1.1 动力学基本方程,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,在力学中把大小和形状可以忽略不计
3、且具有质量的物体称为质点。作用于质点上的力与质点运动之间的关系，由牛顿第二定律表述如下：质点受到力的作用时，所获得的加速度的大小与力的大小成正比，而与物体的质量成反比；加速度的方向与力的方向相同。用公式表示为,ma= F,式中：m质点的质量； F作用于质点上的所有力的合力； a质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相同时，质量大的加速度小，说
4、明其运动状态不容易改变，即它的惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。,目录,7.1.2 质点运动微分方程,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,设质量为m的质点M，在合力F的作用下沿某一曲线运动，质点M的位置用对于坐标原点O的矢径r表示（如图），由运动学知该质点的加速度a与矢径r的关系为,式中：v质点的速度。,将上式代入牛顿第二定律公式得,这就是矢量形式的质点运动微分方程。,在具体计算中，都采用上式的投影形式，根据坐标系的不同有以下两种：,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,（1） 直角坐标形式的质点运动微分
5、方程,式中：x、y、z质点M的坐标； X、Y、Z各力在x、y、z轴上投影的代数和。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,（2）弧坐标形式的质点运动微分方程,式中：s质点的弧坐标； v质点的速度； 曲率半径； F、Fn 各力在轨迹的切 向、法向上投影的代数和。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,【7.1】 质量为m的质点M在坐标平面oxy内运动（如图），其运动方程为x=acos t，y=bsin t，其中：a、b、都是常量。 求作用于质点上的力F。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,【解】 由质点的运动方程消去时间t ，得,可见质点
6、的运动轨迹是以a、 b为长、短半轴的椭圆。,将质点的运动方程代入弧坐标形式的运动微分方程，可求得力F的投影为,式中：r质点M的矢径。,可见力F的大小与矢径r的大小成正比，其方向则与之相反，即力F的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力F正比于活塞的速度v，即F =v，其中为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度值。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,解 把活塞看作一质点，作用于活塞上的力为液体的阻力F
7、。如图所示，取活塞初始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的运动微分方程,或,，则上式成为,分离变量后进行积分,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,将上式写为,再次积分,解得,即为活塞的运动规律。,当t时，e-kt0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,【例7.3】如图所示，单摆由长l的细绳和质量为m的小球悬挂于O点构成。当细绳与铅垂线之间的夹角为0时，单摆由静止释放，若不计空气阻力，求绳所受的最大拉力。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程
8、,【解】 取小球为研究对象。小球受重力W和绳的拉力F的作用。沿小球的轨迹（以O为圆心、l为半径的圆弧）建立弧坐标，原点在铅垂位置，正方向为由左向右。列出小球的运动微分方程,由式(a)得,两边积分,得 v2=2gl(cos -cos 0),目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,代入式（b）得 2mg(cos cos 0)=Fmgcos,故 F =3mgcos 2mgcos 0,显然，当 =0时绳的拉力最大，最大拉力为,Fmax=mg(32cos 0),目录,7.1.3 刚体平移的微分方程,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状相同，
9、且同一瞬时各点的速度v 相同，加速度a也相同。因此，可以取刚体内一个点的运动来代替整个刚体的运动。 刚体的质心C 是一个特殊点，现用它的运动来代替刚体的平移。设质心C的速度和加速分别为vC 、aC ，矢径为rC，根据质点运动微分方程和质心的定义，可以证明：,式中：m刚体的质量； F e 作用于刚体的所有外力的合力。,该式称为矢量形式的刚体平动的微分方程，通常称为质心运动定理。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,将刚体平动微分方程投影到固定的直角坐标轴上，得质心运动定理的投影形式。,式中：xC、 yC、 zC 质心的直角坐标； vCx、 vCy、 vCz ， aCx、aCy
10、、aCz 质心的速度和加速度在直角坐标轴上的投影； X、Y、Z 作用于刚体上的外力在直角坐标轴上投影的代数和。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,【例7.4】 如图所示，将重为W 的构件沿铅垂方向吊起，在开始阶段的加速度为a，绳索与水平方向的夹角为，求绳索的张力。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,【解】 构件可看作刚体，起吊时沿铅垂方向向上作直线平移，可应用质心运动定理求解。 取构件为研究对象，作用于构件上的力有重力W，绳索在A，B 处的拉力FA、FB，受力如图所示。,建立相对于地面静止的直角坐标系 Oxy,由质心运动定理可得,构件以加速度a沿y
11、轴正向作平移，可知aCx=0、aCy=a ，代入上两式，得,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程,FA = FB,故,目录,7.2 刚体定轴转动微分方程,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,设刚体在外力作用下以角速度、角加速度绕固定轴z转动，如图所示。考虑刚体内任意一点M i，由运动学知其绕z轴作圆周运动。若该质点的质量为mi ,它到转动轴z的距离为ri ，则它的切向加速度为 ai=ri 根据弧左边形式的运动微分方程，列出质点Mi在运动轨迹切向的微分方程,式中： Fi作用于该质点所有力的合力Fi在轨迹切向上的投影。,将上式两边同乘以ri，得,目录,第七章 质
12、点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,式中： Firi作用于该质点所有力的合力Fi对z轴之矩。,将作用于任一质点上的力Fi分成两部分：一部分是刚体内其他质点对该质点的作用力，称为内力，用 表示；另一部分是刚体以外的物体对该质点的作用力，称为外力，用 表示。于是上式可改写为,对刚体内每一个质点都可列出这样的式子，将它们相加，得,由于刚体内各质点间的相互作用力即内力都是成对出现的，且它们大小相等，方向相反，作用于同一直线上，所以这些内力对z轴之矩的代数和恒为零，即,于是上式变为,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,式中：Mz作用于刚体上所有外力对z轴之矩的代数和； 刚
13、体内各质点的质量与该点到转轴的距离平方的 乘积之和，对某一刚体来说，转轴一经确定，刚 体内各点到转轴的距离为一定量，因而 为一 常量，它称为刚体对转轴z的转动惯量，用Jz表 示，即,上式即为刚体定轴转动的微分方程。它表明，刚体对转轴的转动惯量与刚体转动角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。外力矩是使转动刚体获得角加速度的原因，角加速度的大小与作用于刚体上的外力对转轴之矩的代数和成正比。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,应用刚体定轴转动微分方程，可以解决两类问题：一类是已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力矩；另一类是已知作用于刚体上的外力矩
14、，求刚体的转动规律。,根据刚体定轴转动微分方程，当 Mz= 0 时，= 0 , =常量，这时刚体静止或绕定轴作匀速转动；当Mz =常量时， =常量，这时刚体绕定轴作匀变速转动。 与同向时，作匀加速转动， 与反向时，作匀减速转动。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,【例7.5】 飞轮重W，半径为R，以角速度0绕水平轴O转动（如图）。飞轮对O轴的转动惯量为JO，制动时闸块对飞轮的法向压力为FN。设闸块与飞轮间的摩擦因数f 保持不变，轴承的摩擦忽略不计，求制动所需的时间t。,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,【解】 取飞轮为研究对象，作用于飞轮上的
15、外力有重力W，闸块的法向压力FN，滑动摩擦力F，轴承处的反力FOx、FOy。在这些力中，只有摩擦力F对转轴O有矩，其他各力对O轴之矩都等于零。以逆时针方向为正，列出飞轮定轴转动微分方程,因摩擦力F=fFN，故有,两边积分,目录,第七章 质点与刚体的运动微分方程刚体定轴转动微分方程,得,JO0=fFNRt,故,目录,7.3 转动惯量及其计算,第七章 质点与刚体的运动微分方程转动惯量及其计算,由上节知，刚体对某轴z的转动惯量等于刚体内各质点的质量与该点到z轴的距离平方的乘积之和，即,上式表明：转动惯量不仅与刚体的形状以及刚体上的质量分布有关，而且与转轴的位置有关。同一刚体对于不同转轴的转动惯量各不相同，但同一刚体对确定转轴的转动惯量是一定的。转动惯量永远为正值。其常用单位是kgm2。,工程中常将转动惯量表示为刚体的质量m与某一长度的平方的乘积，即,z 称为刚体对z 轴的回转半径或惯性半径。它的意义是，设想将刚体的质量集中在与z轴相距为z 的某一点上，则这个质点对z轴的转动惯量就等于刚体对z轴的转动惯量。,目录,7.3.1 转动惯量的物理意义,第七章 质点与刚体的运动微分方程转动惯量及其计算,将刚体定轴转动微分方程Jz = Mz与动力学基本方程ma =F 相比较,可以看出,两者不仅具有相似的形式，而且位
