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1、2 杆单元,一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵,L 杆长 A 截面积 E 弹性模量,考虑一个2节点一维等截面杆单元：,（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：,应变位移关系：,应力应变关系：,杆单元位移 杆单元应变 杆单元应力,应变：,应力：,杆内力：,则杆的轴向刚度：,轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：,比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：,（二）公式法导出杆单元特性,假设单元上近似位移函数位移模式 一个单元上的位移假设为简单多项式函数。有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。 对杆单元，引入局部坐标：,则单元近似位移函数（
2、线性位移模式）：,定义2个节点的插值函数（形函数）：,矩阵形式：,单元应变：,单元应变矩阵,单元应力：,下面应用弹性体虚位移原理导出单元刚度方程。,虚位移原理（虚功原理） 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。,对于杆单元，定义虚位移如下：,节点虚位移：,单元虚位移分布：,节点力（外力）虚功：,单元虚应变能：,则单元虚应变：,对杆单元应用虚位移原理，得：,考虑到 的任意性，立刻得到：,这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。,杆单元刚度矩阵,对于上面的杆单元：,与前面直接法得到的公式相同！,（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分
3、量 一个自由度，单元共有2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义： 刚度方程中令： 则： 所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习） ）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。,单元刚度方程,（四）举例 例1 求图示段杆中的应力。,解：分个杆单元，单元之间在节点铰接。刚度矩阵分别为：,参考前面弹簧系统的方法，装配杆系统的有限元方程（平衡方程）如下：,引入边界位移约束和载荷： 方程化为：,上述方程组中删除第，个方程，得到： 解得：,位移解：,单元1应力：,
4、单元2应力：,提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移有限元位移法。,例2：,已知：,求：杆两端的支反力,解,二、二维空间中的杆单元 （平面桁架单元）,（一）2-D空间中杆单元,1-D空间杆单元 2- D空间杆单元,坐标变换,原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系,向量的坐标变换：,向量的坐标变换矩阵为：,显然是正交阵，即：,单元节点位移向量的变换式如下：,或,单元节点力的变换为：,刚度矩阵的坐标变换,局部坐标系下杆单元的刚度方程为：,扩充到4自由度形式：,写成矩阵符号形式：,利用前面的向量坐标变换式，得：,考虑到变换矩阵的正交性，得：,则，总体坐标系中的单元刚度矩阵为：,用单元刚度矩阵装配结构（系统）刚度矩阵的方法与1-D情况相同。,单元应力：,即：,（二）例题,平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求： 1）节点2位移 2）每根杆应力,解： 求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：,单元1,单元2,将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：,再引入边界约束和载荷：,则上面6阶有限元方程凝聚为：,解出未知位移得：,按公式计算杆应力：,得：,
