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1、1,第11章差错控制编码,分组码的码重和码距 码重：码组中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 码距：两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。码距又称汉明距离。如:“000”晴，“011”云，“101”阴，“110”雨，4个码组之间，任意两个的距离均为2。 最小码距：编码中各码组之间距离的最小值称为最小码距(d0)。如上编码最小码距d0 = 2。,2,第10章差错控制编码,码距和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1,3,第11章差错控制编码,为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t
2、 + 1,4,第10章差错控制编码,为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距,5,第10章差错控制编码,例：设分组码(n, k)中k = 4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数 r 3。若取 r = 3，则n = k + r = 7。用a6 a5 a0表示这7个码元，用S1、S2和S3表示3个监督关系式中的校正子，则S1、S2和S3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所列：,6,第10章差错控制编码,由表中规定可见，仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5或a6时，校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2 、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系： 同理， a1、a3、a5
3、和a6构成偶数监督关系： 以及a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系,7,第10章差错控制编码,三、线性分组码的一般原理 1、线性分组码的构造 H矩阵 上面(7, 4)汉明码的例子有 现在将上面它改写为 上式中已经将“”简写成“+”。,8,第10章差错控制编码,上式可以表示成如下矩阵形式： 上式还可以简记为 H AT = 0T 或 A HT = 0,9,第10章差错控制编码,H AT = 0T 或 A HT = 0 式中 A = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 = 000 右上标“T”表示将矩阵转置。例如，HT是H的转置，即HT的第一行为H的第一列，HT的第二行为H的第二列等等
4、。 将H称为监督矩阵。,10,第11章差错控制编码,H矩阵的性质： 1) H的行数就是监督关系式的数目，它等于监督位的数目r。H的每行中“1”的位置表示相应码元之间存在的监督关系。例如，H的第一行1110100表示监督位a2是由a6 a5 a4之和决定的。H矩阵可以分成两部分，例如 式中，P为r k阶矩阵，Ir为r r阶单位方阵。将具有P Ir形式的H矩阵称为典型阵。,11,第11章差错控制编码,2) 由代数理论可知，H矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r个线性无关的监督关系式，从而也得不到 r个独立的监督位。若一矩阵能写成典型阵形式P Ir，则其各行一定是线性无关的。因为容易验证Ir
5、的各行是线性无关的，故P Ir的各行也是线性无关的。 G矩阵： 上面汉明码例子中的监督位公式为 也可以改写成矩阵形式：,12,第11章差错控制编码,或者写成 式中，Q为一个k r阶矩阵，它为P的转置，即 Q = PT，上式表示，在信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。,13,第10章差错控制编码,将Q的左边加上1个k k阶单位方阵，就构成1个矩阵G G称为生成矩阵，因为由它可以产生整个码组，即有 或者 如找到了码的生成矩阵G，则编码方法就完全确定。具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后。这种形式的码称为系统码。
6、,14,重点： G矩阵与HG矩阵的转换关系 以（7,4）码为例,Q = PT,15,第10章差错控制编码,校正子S 当接收码组有错时，E 0，将B当作A代入公式(A H T = 0)后，该式不一定成立。在错码较多，已超过这种编码的检错能力时，B变为另一许用码组，则该式仍能成立。这样的错码是不可检测的。在未超过检错能力时，上式不成立，即其右端不等于0。假设这时该式的右端为S，即 B H T = S 将B = A + E代入上式，可得 S = (A + E) H T = A H T + E H T 由于A HT = 0，所以 S = E H T 式中S称为校正子。它能用来指示错码的位置。 S和错码E之间有确定的线性变换关系。若S和E之间一一对应，则S将能代表错码的位置。,
