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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2005 年数学试题详解及评分参考 2005 年 第 1 页 2005 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数学试题详解及评分参考 数 学（一）数 学（一） 一、填空题（本题共一、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.） (1) 曲线 12 2 + = x x y的斜渐近线方程为 . 【答】 应填 11 24 yx=. 【解】 因 1 limlim 212 xx yx a xx = + ， 2 11 lim()lim() 2124 x
2、x x byaxx x = + ， 故 12 2 + = x x y的斜渐近线为 11 24 yx=. (2) 微分方程xxyyxln2=+满足 9 1 ) 1 (=y的解为 . 【答】 应填 1 (ln) 33 x yx=. 【解】 将原微分方程化为标准形式，有ln 2 x yyx= + ，故其通解为 22 (ln) dxdx xx yeexdxC =+ = 2 2 ln 1 ()xxdxC x + = 23 2 11 lnx 39 1 ()xxC x +. 故由 1 (1) 9 y= ，得0C =，于是有 1 (ln) 33 x yx=. (3) 设函数 18126 1),( 222 zy
3、x zyxu+=，单位向量1 , 1 , 1 3 1 =n ? ，则 (1,2,3) u n ?= . 【答】 应填 3 3 . 【解】 因 (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) 111 |,|,| 336393 xyz xyz uuu=，故 (1,2,3) 1 1 1 | , 3 3 3 gradu=，从而 (1,2,3) 1 1 113 | , 1,1,1 3 3 333 u n = ?. (4) 设是由锥面 22 yxz+=与半球面 222 yxRz=围成的空间区域，是的 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2005 年数学试题详解及评分参考
4、2005 年 第 2 页 整个边界的外侧，则 =+zdxdyydzdxxdydz . 【答】 应填 3 (22) R. 【解】 由高斯公式，得 2 2 4 000 3=3dsin dr R xdydzydzdxzdxdydVdr += = 3 (22) R. (5) 设 321 ,均为 3 维列向量，记矩阵),( 321 =A， )93,42,( 321321321 +=B， 如果1=A， 那么=B . 【答】 应填 2. 【解】 因 123 111111 (,) 123123 149149 BA = ，故 111 1232 149 BAA=2. (6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X
5、，再从X, 2 , 1?中任取一个数，记为Y，则 2=YP= . 【答】 应填 13 48 . 【解】 由全概公式，得2 =P Y = 4 2 i2i i P XP YX = = 4 2 1 113 = 4 i48 i= . 二、选择题： （本题共二、选择题： （本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. ） (7) 设函数 n n n xxf 3 1lim)(+= ，则( )f x在),
6、(+内 (A ) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点.(D) 至少有三个不可导点. 【答】 应选 (C) . 【解】 因当1x 时，有 3 lim 11 n n n x +=；而1x 时，有 1 33 3 1 lim 1lim(1) n nn n nn xxx x +=+=，故 3 3 1,1 (x)lim 1 ,1 n n n x fx xx =+= . 于是有 3 11 11 1 ( 1)lim3,( 1)lim0 11 xx x ff xx + + = = + ； 3 11 1 11 (1)lim0,(1)lim3 11 xx x ff xx + + = +
7、 , , 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2005 年数学试题详解及评分参考 2005 年 第 3 页 因此( )f x在1x = 处均不可导，因而恰有两个不可导点. 故选 (C) . (8) 设( )F x是连续函数( )f x的一个原函数， “MN”表示“M的充分必要条件是N” ， 则必有 (A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数.(B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数. (C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数. (D)( )F x是单调函数( )f x是单调函数. 【答】 应选 (A) . 【解】 取( )cos1,( )sin1f xxF xxx=+=+,可见
8、 (B), (C), (D)均不正确. 故选 (A) . (9) 设函数 ( , )()()( ) x y x y u x yxyxyt dt + =+,其中函数具有二阶导数，具有 一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u = (B) 2 2 2 2 y u x u = (C) 2 22 y u yx u = (D) 2 22 x u yx u = . 【答】 应选 (B) . 【解】 因()()()() u xyxyxyxy x =+ ，且 ()()()() u xyxyxyxy y =+ ， 故 2 2 ()()()() u xyxyxyxy x =+ ， 2 ()()()
9、() u xyxyxyxy x y =+ ， 2 2 ()()()() u xyxyxyxy y =+ . 因此 2 2 u x = 2 2 u y . 故选 (B) . (10) 设有三元方程1ln=+ xz eyzxy，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域， 在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y= (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z=和( , )zz x y=. (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z=和( , )zz x y=. (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数( ,
10、)xx y z=和( , )yy x z=. 【答】 应选 (D) . 【解】 令( , , )ln1 xz F x y zxyzye=+，知 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2005 年数学试题详解及评分参考 2005 年 第 4 页 zeyF xz x +=， y z xFy=，xeyF xz z +=ln，于是有 (0,1,1)20 x F =，(0,1,1)10 y F = ，0) 1 , 1 , 0(= z F. 因此根据隐函数存在定理，由此 可确定相应的隐函数( , )xx y z=和( , )yy x z=. 故选 (D) . (11) 设 21, 是矩阵A的两个不同的特征值，对
11、应的特征向量分别为 21, ，则 1 ， 12 ()A+线性无关的充分必要条件是 (A)0 1 (B)0 2 (C)0 1 =(D)0 2 =. 【答】 应选 (B) . 【解法一】 因 21, 是属于不同特征值的特征向量，故 21, 线性无关. 而 =+=+ 2 1 2122111211 0 1 ,)(, A， 所以 1 ,)( 21 +A线性 无关的充要条件是 . 0 0 1 2 2 1 = 故选 (B) . 【解法二】 由题意，知 111222 ,AA =. 设0)( 21211 =+Akk，则有 0 22211211 =+kkk，即有0)( 2221121 =+kkk. 因 21, 是
12、属于不同特征值的特征向量，故 21, 线性无关，于是有 121 0kk+=， 22 0k=. 因此当0 2 时，有0, 0 21 =kk，此时 1 ,)( 21 +A线性无关； 反之，若 112 , ()A+线性无关，则必然有0 2 （否则，由 2 0=，可见 2 k可以不 为 0，即 1 与)( 21 +A= 11 线性相关，矛盾！)，故选 (B) . (12) 设A为n(2n)阶可逆矩阵， 交换A的第1行与第2行得矩阵B. *,B A分别为,A B的 伴随矩阵，则 (A) 交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(B) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B. (C) 交换
13、* A的第 1 列与第 2 列得 * B(D) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B. 【答】 应选 (C). 【解】 由题意，有 (1) (2) EAB=. 于是 *111*1* (1) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (2)12 ()()BEAEA EAA A EA EA E = = = ，即 * 12 * BEA=，故选 (C). (13) 设二维随机变量(),X Y的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b0.1 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2005 年数学试题详解及评分参考 2005 年 第 5 页 已知随机事件0=X与1=+YX相互独
14、立，则 (A)0.2, 0.3ab=(B) 0.4, 0.1ab= (C)0.3, 0.2ab=(D)0.1, 0.4ab= 【答】 应选 (B) . 【解】 由联合概率分布的性质，有0.40.11ab+=，即0.5ab+=. 又由0=X与 1=+YX相互独立，知0,101P XXYP XP XY=+=+=，即 (0.4)()aa ab=+. 于是可解得0.4, 0.1ab=，故选 (B) . (14) 设)2(, 21 nXXX n ?为来自总体(0,1)N的简单随机样本，X为样本均值， 2 S为 样本方差，则 (A) 1 , 0( NXn(B).( 22 nnS (C) 1( ) 1( nt S Xn (D) ).1, 1 ( )1( 2 2 2 1 = nF X Xn n i i 【答】 应选 (D) . 【解】 根据正态总体抽样分布理论，有(0,1)nXN， 22 (1)(1)nSn， (1) nX t n S ， 故排除选项(A)、 (B)、 (C)； 又由 2 分布的产生模式， 知 22 1 (1)X， 22 2 (1)
