线性代数第一章教案讲解

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1、线性代数教案第一章 行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形

2、法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件重点：行列式性质；行列式的计算。难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 a12a210 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我们称4个

3、数组成的符号为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成，如果记，则当D0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的

4、分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的例1 用二阶行列式解线性方程组解：这时 ， ，因此，方程组的解是 ，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号例2 令 ，当 D0时，(4)的解可简单地表示成， (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似例3 解线性方程组解：， ， 所以，例4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零因此，当a=0且b=

5、0时给定行列式等于零为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识 1.2 排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识定义1 由数码1，2，n组成一个有序数组称为一个n级排列例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个数字由小到大的n级排列1234n 称为自然序排列定义2 在一个n级排列i1i2in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(isit)， 则称it与i

6、s构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i1i2in)例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7容易看出， 自然序排列的逆序数为0定义3 如果排列i1i2in 的逆序数N(i1i2in )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排列定义4 在一个n级排列i1isitin中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新

7、的n级排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2al i j b1b2bmc1c2cn将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j i b1 b2bmc1c2cn显然对数a1，a2，al，b1，b2，bm和c1c2cn来说，并不改变它们的逆序数但当ij

8、时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性再讨论一般情况，设排列为a1a2al i b1b2bmjc1c2cn将i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn这就是对换不相邻的两个数的情况但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2alb1b2bmi j c1cn然后将数j与它前面的数i，bm，b1作m+1次相邻两数的对换而成而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇

9、数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同定理2 在所有的n级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以pq；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有qp，所以q = p，即奇排列与偶排列的个数相等又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，定理3 任一n级排列i1i2in都可通过一系列对换与n级自然序排列12n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有

10、相同的奇偶性证明：对排列的级数用数学归纳法证之对于2级排列，结论显然成立假设对n1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立若in=n，则根据归纳假设i1i2in1是n1级排列，可经过一系列对换变成12(n1)，于是这一系列对换就把i1i2in变成12n若inn，则先施行in与n的对换，使之变成i1i2in1n，这就归结成上面的情形相仿地，12n也可经过一系列对换变成i1i2in，因此结论成立因为12n是偶排列，由定理1可知，当i1i2in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2in具有相同的奇偶性思考：1决定i、j的值，使(1)

11、1245i6j97为奇排列；(2) 3972i15j4为偶排列2排列n (n1)(n2)321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？ 1.3 n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手引出n阶行列式的定义已知二阶与三阶行列式分别为其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号

12、是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义定义1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，n)组成的符号称为n阶行列式它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1)其中表示对所有的n级排列j1j2jn求和(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式称为行列式的一般项当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面1.1中用对角线法则定义的是一致的

13、当n=1时，一阶行列为|a11|= a11如当n=4时，4阶行列式表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项根据n阶行列式的定义，4阶行列式为例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即a14a23a31a42是上述行列式中的一项为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题例1 在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514因 N(23514)=4，故这一项应取正号例2 写出4

14、阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解：包含因子a11a23项的一般形式为按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因 N(1324)=1为奇数N(1342)=2为偶数所以此项只能是 a11a23a32a44例3 计算行列式解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项但只有以下四项adeh，adfg，bceh，bcfg不为零与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即= adehadfgbceh+bcfg例4 计算上三角形行列式其中aii (i=1， 2， n)解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可在D中，第n行元素除ann外，其余均为所以jn=n；在第n1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零，因而jn1只取n1、n这两个可能，又由于ann、an