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1、机械振动,第六章,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：任一物理量(如电量、电流等)在某一数值附近反复变化。,一、简谐振动的描述,6-1 简谐振动,物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦或正弦函数变化.,以弹簧振子为例,1. 运动方程,振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件.,周期T 物体完成一次全振动所需时间.,频率 :单位时间内振动的次数.,角频率,相位 t : 决定某时刻的质点的运动状态,初相位,2.振动速度及加速度,简谐振动的加速度和位移反向正比.,3.振动初相及振幅由初始条件决定,初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0
2、,代入,得,例如：v0 = 0, x0 = A,例1. 一质点沿x 轴作简谐振动，A= 0.12 m, T= 2 s, 当t = 0 时, x0 = 0.06 m, 此时刻质点 向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。,解：,取平衡位置为坐标原点,设简谐振动表达式为,T= 2 s,简谐振动的表达式为,A= 0.12 m,二、简谐振动的旋转矢量表示法,1.简谐振动与匀速圆周运动,匀速圆周运动在x轴上的投影为简谐振动：,2.简谐振动的旋转矢量表示法,注意：旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。,3.两同频率简谐振动的相位差,两个谐振动,相位差,若 =21 0,
3、称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,当 = 0,两振动步调相同,称同相,当 = ,两振动步调相反,称反相,用旋转矢量表示振动相位关系,同相,反相,例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。,例2. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，确定其振动方程.,解:,设振动方程为,由旋转矢量确定振动初相位：当 t = 0,旋转矢量以 从 t = 0 到t = 1 转过角度为,三、简谐振动的动力学方程,由振动方程,令,(回复力),反之，如质点所受的力,则质点一定作简谐振动.,或位移满足,简谐振动微分方程,简谐振动的定义,运动学定义,动力学定义,或,简谐振动的质点所受的
4、合外力与它相对于平衡位置位移成正比而反向。,固有角频率,四、简谐振动实例,1. 弹簧振子,选平衡位置为原点,位移为x处，物体所受的的合外力,满足简谐振动的动力学定义,物体一定作简谐振动.,由牛顿第二定律,角频率,完全由振动系统本身的性质决定。,固有周期,固有频率,振动方程,2. 单摆,当 5时，,摆球角位移为 时受的切向力,平衡位置： = 0,谐振动微分方程,结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。,3. 复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。,令,小幅摆动时,角位移，回复力矩,M =mghsin,M =mgh,由刚体的转动定律,或,谐振动微分方程,拓展与思考,由能量守恒建立简谐振动微分方程, 很
5、小( 5)，,线性谐振动,角谐振动,简谐振动的判断及振动方程的确定,归纳与总结,例如：对图示的扭摆， 圆盘的转动惯量为J,为扭转常数，取决于悬线的长度、直径及材料。,例3.如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l =9.8cm t =0时, x0 9.8cm, v0=0 (1)取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； (2)若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。,解：,(1)确定平衡位置 mg=kl 取为原点 k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f = mg k(l +x)= kx 系统作谐振动，设振动方程为,由初始条件得,由x0=Acos0= 0.0980
6、cos00, 取0=,振动方程为：x = 9.8102cos(10t+) m,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2,v0=Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2, x=9.810-2cos(10t+3/2) m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变,固有频率,x0 9.8cm, v0=0,例4. 如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：将m的平衡位置取为坐标原点，设平衡
7、位置对应的弹簧伸长量为l0 , 则,当m有位移x时,联立,物体作简谐振动,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,五、简谐振动的能量,系统的机械能守恒,振动能量曲线,例5.一弹簧振子沿x轴作简谐振动，弹簧倔强系数为k，物体质量为m，简谐振动振幅为A。求弹簧振子的动能为势能的3倍时的位置x。,解：,另解：,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动, 其频率仍为,质点同时参与同方向同频率的谐振动 :,合振动 :,6-2 简谐振动的合成,如 A1=A2 , 则 A=0，两个同幅反相的振动合成的结果将使质点处于
8、静止状态。,合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强,合振幅最小，两分振动相互减弱,两个重要特例,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动不是简谐振动,随t 快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍,分振动,合振动,当21时,拍 合振动忽强忽弱的现象,拍频:单位时间内加强或减弱的次数 =|21|,Beat phenomenon,拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。 微波测速雷达：被测物体移动时，由于直达波和反射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，
9、该差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。,拍的应用,三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动质点的轨迹方程,为椭圆方程.,两相互垂直同频率不同相位差简谐振动的合成,四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成,轨迹称为李萨如图形,对于两个频率不相同的谐振动，其相位差,不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。,李萨如图形,解：(1),解：(2),x1和x3合成振幅最大, x1和x3同相,x2和x3合成振幅最小, x1和x3反相,一、 阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服
10、阻力作功使振幅受到摩擦力的作用减小，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。,6-3 阻尼振动 受迫振动和共振,固定端,物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力与速度的一次方成正比，与速度方向相反, 阻尼系数,由牛顿第二定律，得,l0 = mg/k,系统固有角频率,阻尼因子,弱阻尼,阻尼振动的振幅按指数衰减,过阻尼,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置,临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,阻尼振动的应用,在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不同的方法来控制阻尼的大小。例如， 各种机器，为了减震、防震
11、，都要加大摩擦阻尼。 各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声 能，就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气箱就起这种作用。,在灵敏电流计中，为了尽快地、较准确地进行读数测量，常使电流计的偏转系统处于临界阻尼状态下工作。因为临界阻尼与过阻尼和弱阻尼状态相比，振动物体回到平衡位置的时间最短。,二、 受迫振动,受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。 这种周期性的外力称为驱动力。,系统在弹性力、阻力和驱动力的作用下，其运动方程为,令,受迫振动的微分方程,在阻尼较小的情况下的通解,经过一段时间后，减 幅振动可以忽略不计。 系统达到稳定状态后 的振动为一稳定的等幅 振动。,受迫振动的稳定状态为,受迫
12、振动微分方程,(1)角频率: 等于驱动力的角频率 ,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。,(2)振幅:,受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条 件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻 尼的大小和驱动力的特征有关。,因,最大振幅为,如0 ，则r = 0,即驱动力的角频率等于振动系统的固有角频率时，振幅达到最大值。这种现象叫共振。,三、共振,受迫振动的振幅,与驱动力的角频率 有关。令dA/d =0，可得与振幅极大值对应的角频率为,在共振时， = 0,共振原因的进一步分析,受迫振动的振动方程,初相,则 = /2,振动速度，,这说明，振动速度和驱动力同相(F = Aco
13、s t )，因 而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地 从外界得到能量。这就是共振使振幅最大的原因。,驱动力,受迫振动的微分方程,共振的利与弊,共振现象在实际中有着广泛的应用： 钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果； 收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台； 原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。,共振的利与弊,共振现象也有其危害性： 例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器 设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动 机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生 强烈的共振而受到损坏。,18世纪中叶，一队拿破仑士兵
14、在指挥官的口令下，迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。造成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力时，桥就断裂了。,共振的利与弊,声音杀人,听不到的声音次声，频率低于20赫兹，人体内脏固有频率和次声频率接近，外来次声会引起人体无法忍受的颤抖，从而产生视觉障碍、定向力障碍、恶心等症状，甚至还会出现可导致死亡的内脏损坏或破裂。,共振现象危害性： 例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、
15、机器 设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动 机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生 强烈的共振而受到损坏。,由开有许多小孔的孔板和空腔所构成，当传来的噪声频率与消声器的固有频率相同时，就会跟小孔内空气柱产生剧烈共振。这样，相当一部分噪声能在共振时被“吞吃”掉。,公路隔音墙,措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、 改变外力的频率、增大系统的阻尼等。,共振的利与弊,简谐振动微分方程,一、简谐振动的定义,动力学定义,或,简谐振动表达式,弹性力或准弹性力,振幅、角频率、相位、初相,总 结,二、简谐振动实例,总 结,三、简谐振动的能量,同方向、同频率谐振动的合成；合振动的振幅决定于两份振动的振幅和相位差。 两个同方向频率相近简谐振动的合成，产生拍现象。拍频等于两分振动的频率差。 两个相互垂直的同频率简谐振动的合成；合振动轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两分振动的相位差和振幅。,四、简谐振动的合成,五、阻尼振动 受迫振动和共振,总 结,
