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1、,材 料 力 学,戴宏亮 编著,湖南大学 机械与运载工程学院 工程力学系,第五章 梁的弯曲内力,作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线这种形式的变形称为弯曲变形。,通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。,5.1 梁弯曲的基本概念,下承式拱桥,起重机大梁,板梁,跳水跳板,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,平面弯曲,常见弯曲构件截面,5.1.1 梁的支座,固定铰支座,活动铰支座,固定端,5.1.2 梁上载荷及其正负号规定,1 梁上的载荷,火车轮轴简化,吊车大梁简化,均布载荷,集中荷载,作用于梁上的荷载和支反力统称为外载荷，为区分外载
2、荷方向，可将作用于梁上的外载荷进行如下的正负号规定：,2. 梁上载荷的正负号规定,（1）集中力和分布力沿梁的横向坐标轴y的正方向为正，而沿y的负方向为负。,（2）集中力矩和分布力矩顺时针转向时为正，而逆时针转向时为负。,5.1.3 静定梁的基本形式,外伸梁,悬臂梁,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,MA,简支梁,5.2 剪力与弯矩,FAY,FAX,FBY,F,l,A,B,解：1.求外力（支座反力）,2. 求内力（截面法）,剪力,弯矩,研究对象：m - m 截面的左段：,若研究对象取m - m 截面的右段：,1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上存在内力偶矩（弯矩）。
3、,2. 剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。,弯曲梁的横截面上存在2种内力：,弯曲内力的正负号规定:,剪力Fs :,弯矩M ：,M(+),M(+),M(),M(),顺时针为正；反之为负。,或者，左顺右逆为正。,或者， 左上右下为正。,上凹下凸为正；反之为负。,解：,1. 确定支反力,例题 求图示简支梁E 截面的内力,2. 用截面法研究内力,分析右段得到：,截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。,FSE,截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。,ME,5.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的，为了描
4、述其变化规律，可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力和弯矩可以表示为x的函数，即,5.3.1.剪力方程和弯矩方程,这两个表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。,简支梁C点受集中力作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,5.3.2.剪力图和弯矩图,简支梁C点受集中力偶作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2.写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,试写出剪力和弯矩方程，并
5、画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,悬臂梁受均布载荷作用,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,先绘制横坐标轴与纵坐标轴； 将正剪力和正弯矩画在坐标轴的上方，负剪力和负弯矩画在下方。 图形标上正负号，且在图形的关键截面处标记数值。,注意:,5.4 弯矩、剪力、分布荷载间的关系及绘内力图,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系：,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系：,q0，Fs=常数，剪
6、力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,2. q常数，Fs (x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变,荷载,内力图,q=0,q=c,集中力,F,F,集中力偶,m0,m0,Fs图特征,F,F,无影响,M图特征,Fs0,Fs0,Fs=0,Fs=0,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上
7、的剪力和弯矩数值。, 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,例：简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力 图和弯矩图。,解法一：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS
8、 x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,1确定约束力,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左侧开始画剪力图。,解法二：,4从A截面左侧开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从C右到D左,从D右到B左,从B左到B右,1.330,1.665,0.330,例题:试画出梁剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制
9、面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,弯矩、剪力、分布荷载间的积分关系,控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。,绘制内力图的步骤：,基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段； 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。,利用微分关系定形，利用特殊点的内力值，或利用积分关系定值。,解法2： 1确定约束力,2确定控制面，即A、 B、D两侧截面。,3从A截面左测开始 画剪力图。,例题:试画出梁剪力图和弯矩图。,4求出剪力为零的 点到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段
10、为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始 画弯矩图,左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。,右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。,解：1、确定支反力（可省略）,AB：,BC：,2、画内力图,q 0,M,qa2,MC= MB+(-1/2qa a)=-qa2 1/2 qa2,MB= MA+(-qaa)=0-qa2,例题:试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。,解1：1确定约束力,从铰处将梁截开,2作内力图,5.4 运用叠加法绘弯矩图,叠加原理,=,+,51,叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独效果
11、之和。,叠加原理成立的前提条件： （1）小变形 （2）材料满足胡克定理（线性本构关系）,“效果” 指载荷引起的反力、内力、应力或变形。,“和”代数和,ql/8 = 2qa,MAB中= 2qa+qa/2 =5qa/2 = 80qa/32,注意: 是弯矩值相加,不是 图形的简单拼合。,竖杆AB：,横杆CB：,C点约束反力引起的弯矩,C点约束反力引起的弯矩,均布荷载q引起的弯矩,5.4 平面曲杆的弯曲内力,若杆件具有纵向对称面，且其轴线为一平面曲线，工程上称之为平面曲杆。 当荷载作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。 关于内力的符号，规定为：引起拉伸的轴力为正；使轴
12、线曲率增加的弯矩为正；以剪力对所考虑的一段曲杆内任一点取距，若力矩为顺时针方向，则剪力为正。作弯矩图时，将弯矩图画在轴线的法线方向，并画在杆件受压的一侧。,画出该曲杆的内力图,解：写出曲杆的内力方程,本章小结,1. 反映梁截面上内力的计算方法，梁内力方程与内力图。计算梁的内力即弯矩和剪力的基本方法仍是截面法。在实用上，主要是运用简化计算的方法。剪力的符号以微段梁左端向上、右端向下相对错动时为正，反之为负。,2. 梁的内力与分布荷载之间的关系为,，,，,根据上述关系得到了在各种常见载荷下梁的弯矩图与剪力图的特征，以及剪力图与弯矩图的关系特征。利用这些特征可以更加准确地画出梁的内力图，称之为简易法画内力图。,3. 叠加法作弯矩图。在梁上同时作用若干载荷时产生的弯矩，等于各载荷单独作用时所产生弯矩的代数和。,作业题,第一次课：5-1，5-2，5-3 第二次课：5-4，5-5 第三次课：5-8，5-9，5-10 第四次课：5-12，5-16,第五章 结 束,
