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1、321解答：（1）如图 3.2.1 所示，偶极子的电荷量 和 所受的电场力分别为 和 ，大小相qqE等，合力为 0，但所受的力矩为 MPE当且仅当 和 时，电偶极子受的力矩为 0，达到平衡状态，但在 的情况下 0稍受微扰，电偶极子将受到回复力矩回到平衡位置上，因此， 时，是稳定平衡；但在 的情况下稍受微扰，电偶极子受到的力矩将使电偶极子“倾覆”到达 情况，因此， 的情况是不稳定平衡。（2）若 E 不均匀，一般情况下，偶极子的电荷量 和 所受的电场力不为 0，电场力将q使偶极子转向至偶极矩 P 与场强 E 平行的情况，由于电场不均匀，偶极子所受的合力不为0.因此,电偶极子不能达到平衡状态。322
2、解答：（1）如图 3.2.2 所示，偶极子 和 中的 处激发的电场为122q132pEklr所受的电场力为2q 2123qpFEklr偶极子 和 中的 处激发的电场为1P2q132pEklr所受的电场力为2q 2123qpFEklr偶极子 受到的合力为2P332221llFkqprr令 ， ， ，则 ，故2lx3fxr3gxr330,frgr4444 , ,因 ，对 和 在 处展开后，略去高次项2lr2lr2lr034 340,0fxffxggxrx46r所以 421122144003()qplFkqpxrrr其大小为 1240r以上是 和 同向的情况，反向时大小不变，受力方向相反。1P2（2
3、） 对 的情况亦相同。易见 和 同向时互相吸引，反向时互相排斥。1P2323解答：（1）偶极子所受的力矩大小为 sinMpE最大力矩为 时23max210qlNm（2）偶极子从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，即 从 0 到 ，电场力所做的功2为 22 300sin1WTdpEdp324解答：（1）偶极矩为 p 的电偶极子处在外电场 E 中，最一般情况是 p 与外电场 E 夹角为 （图3.2.4） 。设电偶极子中 所在处的电势为 ， 所在处的电势为 ，偶极子的电势能为qVqVcosWl（2）P 与 E 的夹角 为 0 时电势能最小，即0WpE（3）P 与 E 的夹角 为 时电势能最大，即34
4、1解答：图 3.4.1 为均匀介质圆板的正视图，因圆板被均匀极化，故只有在介质圆板边缘上有极化面电荷，弧长为 ，厚度为 h 的面元面积为 ，在 处的极化面电荷密度dl dShlRd为 cosnPe根据对称性，极化面电荷在圆板中心产生的电场强度只存在 y 分量，位于 处的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的 y 分量为 222 coscoscsdShdlPdEkkkRRR全部极化面电荷在圆板中心产生的电场强度大小为 200cos44Phd补上电场强度的方向，电场强度为 0ER342解答：紧靠导体 A 表面的极化电荷面密度与该处的极化强度矢量 P 在导体面法线上的投影 的关nP系为 n式中：法线 的
5、方向为导体的外法线方向。ne利用关系 与 ，得0PE0rD0nnrrD紧邻该导体面元 作一贯通导体表面的小柱面（图 3.4.2） ，根据介质中的高斯定理可证得S紧靠导体 A 表面介质的电位移矢量在导体面的外法线的投影 0n从而有 001 rr解得 01r343解答：（1）在介质两个底面的极化电荷面密度为 ,anbnPKePKb式中：法线 为介质圆柱体的外法线单位矢。ne（2）如图 3.4.3 所示，在介质内沿轴向作一端面积为 S、长为 、体积为 V 的柱体，极x化电荷体密度为 PdKVxA344解答：如附图所示，法线单位矢 向下，因是均匀电介质，故 。在界面处作一底面积为nepPSd总的柱面，
6、被包围导体面上的自由电荷的电荷量为 ，根据高斯定理，自由电荷在S 0介质中激发的电场为 00nnnQEeeS而极化电荷面密度为 npPSd总极化电荷在介质中激发的电场为 00nnnEee总自由电荷和极化电荷在介质中激发的总电场为 01onnnpeQeSd总345解答：（1） 根据电容器的定义并代入数据，得 100.8SCFl（2） 金属板内壁的自由电荷（绝对值）为 7005.4qUC（3） 放入电介质后，电压降至 时电容 C 为31V10.oF（4） 两板间的原电场强度大小 503UEml（5） 放入电介质后的电场强度大小 51Vl（6）电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值为 ，因极化电荷
7、与自由电荷反号，q有 0E而 700 3.61qSESC（7） 电介质的相对介电常数为 0r346解答：空腔面的法线取外法线方向单位矢 ，建立直角坐标系， 为矢径 R 与 z 轴的夹角nRe（图 3.4.6） ，球面上的极化电荷面密度为 cosnP由上式知，紧贴球形空腔表面介质上的极化电荷面密度 是不均匀的，极化电荷面密度左侧为正，右侧为负。球面上坐标为 的面元面积为 。该面元上(,)R2sindSRd的极化电荷量为 2cosidqSP带电面元在球心处激发的电场强度方向由源点指向场点，用单位矢 表示Re2()RdqEke根据对称性，极化电荷在球心的场强 E 的方向沿 z 轴方向，故只需计算场强
8、 E 的 z 分量，即 3220 00cos cosin42zPPPEkddk 因 001rE故得 3r351解答：因导体板上内表面均匀分布自由电荷，取上导体板的法线方向 指向下方，即有ne5201nDCm在介质 1 板中，有 5017.nrDEVm在介质 2 板中，有 5202.71nrDEVm如图 3.5.1 所示，贴近上导体板处的极化电荷面密度为 5252104 .303rCC贴近下导体板处的极化电荷面密度为 5252220 10.1rm两介质板间的极化电荷面密度为 526231212 .706CCm352解答：图 3.5.2(a)为侧视图，以面 为对称面在板内作一两端面积为 S，垂直
9、面，长为MM的柱面。根据电场强度的方向，柱面侧面的电通量为 0，按介质中高斯定理，有x02nDSx内得 0nxe内式中： 为背离 面的单位矢； 为所求场点到 面的距离。neMM0nrrDxEe内内板内介质的极化强度矢量为 001rnPExe内 内同理，以面 为对称面作一伸出板外的，两端面积为 S，垂直 面的柱面。按介质MM中高斯定理，有 02nDSd外得 02ndDe外 002nrrdEe外外板外的极化强度矢量为 0P外353解答：（1）介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”标记，单位矢 方向为由高电势指向低ne电势，两极板间电势差（绝对值）为21nEldlU无论在空间 1 还是在 2，电位
10、移矢量 D 相等，故有0102nrnE得 12nrn即 21nrrUEeld解得 012rnDeld02021rnUPEel（2）因 ，故极板上自由电荷的电荷量（绝对值）为0nD001rUSqld（3）极板和介质间隙中（空气中）的场强 ，故1E空rnUeld空（4）电容为 001rqSCUld354解答：（1） 极板上自由电荷的电荷量（绝对值）为 00SUqCd（2） 因 ，而在空气和介质中，D 相同。故在介质中电位移矢量为0qUSd0ned式中： 为高电势向低电势的法向单位矢量。ne在介质中电场强度为 00nrUDEed（3）断开电源后，插入电介质，电荷量 不变，电压改变，故有 ，利用习题0
11、q0CU3.5.3 的结果求得此时电压 01rrldU355证明：虽然电容器极板间两部分充的介质不同，但加在介质上下的电压 U 却相等。两介质的分界面垂直极板，由于电场强度的切线分量连续 ，而对分界面而言，介质两侧的电场12ttE强度的仅有切线分量，即 。极板间两部分就如两个电容器 与 并联。而12E1C2，因此两个电容器并联的电容为0102,rrSSCdd01212rrSCd356解答：（1） 图 3.5.6(a)和图 3.5.6(b)是题图的等效电路， “+”、 “”符号标在相应的图上。（2） 两个电容器的电容值为 100128.9rSCFd912.MN357证明：在介质中的电位移矢量 ，
12、因此，电场强度 ，按题意024rqDe024rqEe0rqEeK介质中离球心为 r 处的电势为000lnln444rbr bKrqqqdVKb358解答：设玻璃的电场强度为 ，空气的电场强度为 ，当两极板间加上电压 U 后，有E玻 E空2221.01.010UmEm玻 空 玻 空利用空气与玻璃板中的电位移相等的关系，应有 00rE空 玻代入数据得60.51EVm玻此值低于玻璃的击穿场强，说明玻璃不会被击穿。因 63.510r空 玻此值高于空气的击穿场强，说明空气被击穿。若取出玻璃，则 6210UEVmd空此值低于空气的击穿场强，说明空气不会被击穿。359解答：（1）以 r 为半径，长度为一个单
13、位，作一与导线同轴的圆柱体。圆柱体的表12R面作为高斯面，求得介质中的电位移矢量为 02rDe电场强度为 02rEre极化强度矢量为 0012rrPEe（2）两极的电势差 U 为 210021lnRrrdR（3） 在半径 与 处，介质表面的极化电荷面密度分别为1R20111 2rnPR0222 rn3510解答：设内筒单位长度的电荷量为 ，则求得00001212,2rrrDeEeEe显然，半径越小，场强越大的最大值在内筒外半径 处，即1E1R01max12ER的最大值在内筒外半径 处，即2Ea02max2E图 3.5.10 是场强 E 随半径 r 变化情形。分界面半径 的位置介于 与 之间，即
14、1R2， 越大，即越趋近于 ，在分界面上的 的最大值 就越小，12Ra2R2Emax的条件保证两种介质中的最大值 与 二者之比为2max1ax2ax112m2ER说明 总比 大。当电压升高时，内外层介质中的场强就随之增大，由于内、外层2maxE1ax介质中的场强最大值分别出现在内筒外半径 处和介质的分界面上。当外层介质中场强最1R大值 超过介电强度时，内层介质在内筒外半径 处的场强尚未达到介电强度，因此，2maxE1外层介质首先被击穿。两筒之间的电压为 21 2000 021 1lnllnaRRadrrRaU a与分界面上的 的最大值 比较，得2E2max2ax21lnUER当 U 达到某值 时， ，导致外层介质被击穿，故得两筒之间允许的最大电势M2maxM差为 21lnMRUEa3511解答：（1）先分析介质平板中激发电场的
