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1、考点四十四 抛物线知识梳理1抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线用集合语言描述:PM|,即PM|MF|d注意:抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0开口
2、方向向右向左向上向下3抛物线的焦点弦有关的常用结论(1)y1y2p2,x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3) SAOB(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切(6)当AB与抛物线的对称轴垂直时,称线段AB为抛物线的通径,它是焦点弦中最短者,长度等于2p.典例剖析题型一 抛物线的定义及其应用例1若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是_答案解析M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y,设M(x,y),则y1,y.变式训练 已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若
3、4,则|QF|_答案3解析4,|4|,.如图,过Q作QQl,垂足为Q,设l与x轴的交点为A,则|AF|4,|QQ|3,根据抛物线定义可知|QF|QQ|3解题要点 利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径题型二 抛物线的标准方程求解例2已知抛物线C:y22px(p0)过点A(1,2)求抛物线C的方程,并求其准线方程;解析 将(1,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x,其准线方程为x1.变式训练 已知抛物线C与双曲线x2y21有相
4、同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是_答案 y24x解析 因为双曲线的焦点为(,0),(,0)设抛物线方程为y22px(p0),则,所以p2,所以抛物线方程为y24x.解题要点 求抛物线的标准方程的方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量题型三 抛物线的几何性质例3如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程是_答案 y23x解析 分别过点A、B作准线的垂线AE、BD,分别交准线于点E、D
5、,则|BF|BD|,|BC|2|BF|,|BC|2|BD|,BCD30,又|AE|AF|3,|AC|6,即点F是AC的中点,根据题意得p,抛物线的方程是y23x.变式训练 已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4,则|QF|等于_答案3解析4,|4|,.如图,过Q作QQl,垂足为Q,设l与x轴的交点为A,则|AF|4,|QQ|3,根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.解题要点 应用抛物线性质的技巧:1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程2.要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解3.借助抛物线的定义
6、,在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化当堂练习1(2015陕西文)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1),则该抛物线焦点坐标为_答案(1,0)解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x,由题意得1,p2,焦点坐标为.2O为坐标原点,F为抛物线C:y24x的焦点,P为C上一点,若|PF|4,则POF的面积为_答案 2解析 利用|PF|xP4,可得xP3,yP2.SPOF|OF|yP|2.3. (2014年辽宁卷)已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为_答案 解析 点A(2,3)在y22px的准线上,2,p4,y22px的焦点为
7、F(2,0),kAF.4(2014安徽)抛物线yx2的准线方程是_答案y1解析yx2,x24y.准线方程为y1.5已知A(2,0),抛物线C:x24y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|_.答案 1解析 MF的方程为y1即x2y20,MF的倾斜角为,则tan,由抛物线的定义可知|MF|MQ|;sin .课后作业一、 填空题1过点P(2,3)的抛物线的标准方程是_答案y2x或x2y解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my,代入点P(2,3),解得k,m,y2x或x2y.2抛物线y4x2的焦点到准线的距离是_答案解析由x2y,知p,所以焦点到准线的距离为
8、p.3设抛物线的顶点在原点,准线方程为x2,则抛物线的方程是_答案 y28x解析 由抛物线的准线方程为x2,得焦点F(2,0),2,p4,故抛物线的标准方程为y28x.4在y2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是_答案 (1,2)解析 如图所示,直线l为抛物线y2x2的准线,F为其焦点,PNl,AN1l,由抛物线的定义知,|PF|PN|,|AP|PF|AP|PN|AN1|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1.5若抛物线y22px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为_答案 y28x解析 由题意,
9、得24,p4,所以抛物线的方程为y28x.6点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是_答案 yx2或yx2解析 将yax2化为x2y,当a0时,准线y,由已知得36,12,a.当a0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为_答案 x1解析 直线方程为yx,由得y22pyp20.设A和B的纵坐标分别为y1和y2,由韦达定理知y1y22p,又线段AB的中点的纵坐标为2,所以p2.于是抛物线的准线方程为x1二、解答题12已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|PQ|.求C的方程;解析 设Q(x0,4),代入y22px得x0.所以|PQ|,|QF|x0.由题设得,解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.13若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3,延长PF交抛物线于Q,若O为坐标原点,求OPQ面积SOPQ解析 如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|PF|3,由抛物线定义知:点P到准线x1的距离为3,点P的横坐标为2.将x2代入y24x得y28,由图知点P的纵坐标y2,P(2,2),直线PF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知Q,SOPQ|OF|yPyQ|1|2|.