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1、考点四十四 抛物线知识梳理1抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线用集合语言描述：PM|，即PM|MF|d注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0开口
2、方向向右向左向上向下3抛物线的焦点弦有关的常用结论(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3) SAOB(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切(6)当AB与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB为抛物线的通径，它是焦点弦中最短者，长度等于2p.典例剖析题型一 抛物线的定义及其应用例1若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_答案解析M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.变式训练 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
3、4，则|QF|_答案3解析4，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3解题要点 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径题型二 抛物线的标准方程求解例2已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)求抛物线C的方程，并求其准线方程；解析 将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.变式训练 已知抛物线C与双曲线x2y21有相
4、同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是_答案 y24x解析 因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.解题要点 求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量题型三 抛物线的几何性质例3如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_答案 y23x解析 分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D
5、，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，根据题意得p，抛物线的方程是y23x.变式训练 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|等于_答案3解析4，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.解题要点 应用抛物线性质的技巧：1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程2.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解3.借助抛物线的定义
6、，在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化当堂练习1(2015陕西文）已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_答案(1,0)解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为.2O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为_答案 2解析 利用|PF|xP4，可得xP3，yP2.SPOF|OF|yP|2.3. (2014年辽宁卷)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_答案 解析 点A(2,3)在y22px的准线上，2，p4，y22px的焦点为
7、F(2,0)，kAF.4(2014安徽)抛物线yx2的准线方程是_答案y1解析yx2，x24y.准线方程为y1.5已知A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|_.答案 1解析 MF的方程为y1即x2y20，MF的倾斜角为，则tan，由抛物线的定义可知|MF|MQ|；sin .课后作业一、 填空题1过点P(2,3)的抛物线的标准方程是_答案y2x或x2y解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，y2x或x2y.2抛物线y4x2的焦点到准线的距离是_答案解析由x2y，知p，所以焦点到准线的距离为
8、p.3设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_答案 y28x解析 由抛物线的准线方程为x2，得焦点F(2,0)，2，p4，故抛物线的标准方程为y28x.4在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是_答案 (1,2)解析 如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1.5若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为_答案 y28x解析 由题意，
9、得24，p4，所以抛物线的方程为y28x.6点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是_答案 yx2或yx2解析 将yax2化为x2y，当a0时，准线y，由已知得36，12，a.当a0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_答案 x1解析 直线方程为yx，由得y22pyp20.设A和B的纵坐标分别为y1和y2，由韦达定理知y1y22p，又线段AB的中点的纵坐标为2，所以p2.于是抛物线的准线方程为x1二、解答题12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.求C的方程；解析 设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.13若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，求OPQ面积SOPQ解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|PF|3，由抛物线定义知：点P到准线x1的距离为3，点P的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点P的纵坐标y2，P(2,2)，直线PF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知Q，SOPQ|OF|yPyQ|1|2|.
